Đề bài

Trên đồng hồ tại thời điểm đang xét kim giờ OG chỉ số 3 kim phút OP chỉ số 12. Đến khi kim phút và kim giờ gặp nhau lần đầu tiên. Tính số đo góc lượng giác mà kim giờ quét được?

Phương pháp giải

Gọi \(t\) (phút) là thời gian để hai kim đồng hồ gặp nhau lần đầu sau 3 giờ.

Biểu diễn vị trí của hai kim trên đường tròn lượng giác theo \(t\).

Hai kim gặp nhau thì chúng có cùng vị trí, ta lập phương trình ẩn \(t\), giải ra \(t\).

Tìm góc kim giờ quay được bằng cách thay \(t\) vào biểu thức vị trí của kim giờ.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Tại thời điểm đang xét, đồng hồ chỉ 3 giờ đúng.

Gọi \(t\) (phút) là thời gian để hai kim đồng hồ gặp nhau lần đầu sau 3 giờ.

Tốc độ của kim giờ là: \({360^o}\)/12h = \({30^o}\)/h = \(0,{5^o}\)/phút.

Tốc độ của kim phút là: \({360^o}\)/h = \({60^o}\)/phút.

Biểu diễn hai tia OG và OP trên đường tròn lượng giác sao cho kim giờ OG trùng với tia Ox, kim phút OP trùng với tia Oy, ta có vị trí kim giờ là \({0^o} + 0,{5^o}t\), vị trí kim phút là \({90^o} + {6^o}t\).

Hai tia gặp nhau sau \({0^o} + 0,{5^o}t = {90^o} + {6^o}t \Leftrightarrow 5,{5^o}t =  - {90^o} \Leftrightarrow t =  - \frac{{180}}{{11}}\) (phút).

Vậy kim giờ quét được góc lượng giác:

\({0^o} + 0,{5^o}.\left( { - \frac{{180}}{{11}}} \right) + k{360^o} =  - {\left( {\frac{{90}}{{11}}} \right)^o} + k{360^o} =  - \frac{\pi }{{22}} + k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Mở rộng

Cho hai tia Oa và Ob.

- Nếu một tia Om quay quanh gốc O của nó theo một chiều cố định bắt đầu từ vị trí tia Oa và dừng ở vị trí tia Ob thì ta nói tia Om quét một góc lượng giác có tia đầu Oa, tia cuối Ob, kí hiệu (Oa, Ob).

- Khi tia Om quay một góc \(\alpha \), ta nói số đo của góc lượng giác (Oa, Ob) bằng \(\alpha \), kí hiệu sđ(Oa, Ob) = \(\alpha \).

Số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu Oa và tia cuối Ob sai khác nhau một bội nguyên của 360 độ nên ta có công thức tổng quát là:

\((Oa,Ob) = {\alpha ^o} + k{360^o}\)

với \({\alpha ^o}\) là số đo của một góc lượng giác bất kì có tia đầu Oa và tia cuối Ob.

Với góc \(\alpha \) radian, ta có:

\((Oa,Ob) = \alpha  + k2\pi \).