Một thành phố nằm trên một con sông chảy qua hẻm núi. Hẻm có chiều ngang 80 m, một bên cao 40 m và một bên cao 30 m. Một cây cầu sẽ được xây dựng bắc qua sông và hẻm núi. Sơ đồ thiết kế của cây cầu được gắn hệ trục tọa độ như hình dưới đây:
Con đường XY xuyên qua hẻm núi được mô hình hóa bằng phương trình \(y = \frac{{{x^3}}}{{25600}} - \frac{{3x}}{{16}} + 35\).
Hai cột đỡ dọc MN và PQ (song song với trục Oy) là đoạn nối giữa khung của Parabol và đường XY. Tính tổng độ dài đoạn MN và PQ biết rằng N và Q là hai điểm đối xứng qua Oy; MN là đoạn có độ dài lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
- Lập phương trình của Parabol (P).
- Gọi t là hoành độ của N, từ đó biểu diễn tọa độ 4 điểm M, N, P, Q theo t.
- Biểu diễn độ dài MN theo t. Tìm t để MN nhỏ nhất, từ đó suy ra tọa độ M, N, P, Q và tính MN + PQ.
Giả sử Parabol (P) có phương trình dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\).
(P) đi qua các điểm (-40;0), (40;0), (0;60) nên ta có hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a{.40^2} + b.40 + c\\0 = a{( - 40)^2} + b( - 40) + c\\60 = a{.0^2} + b.0 + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{3}{{80}}\\b = 0\\c = 60\end{array} \right.\)
Vậy phương trình của (P) là \(y = - \frac{3}{{80}}{x^2} + 60\).
Gọi t là hoành độ của N (t > 0 do N nằm phía bên phải trục Oy).
Vì N thuộc (P) nên \(N\left( {t; - \frac{3}{{80}}{t^2} + 60} \right)\).
MN // Oy nên M có cùng hoành độ t với N.
Vì M thuộc con đường XY nên \(M\left( {t;\frac{{{t^3}}}{{25600}} - \frac{{3t}}{{16}} + 35} \right)\).
Vì MN // Oy nên \(MN = {y_N} - {y_M} = - \frac{3}{{80}}{t^2} + 60 - \left( {\frac{{{t^3}}}{{25600}} - \frac{{3t}}{{16}} + 35} \right)\)
\( = - \frac{{{t^3}}}{{25600}} - \frac{{3{t^2}}}{{80}} + \frac{{3t}}{{16}} + 25 = f(t)\).
MN lớn nhất khi f(t) lớn nhất. Ta xét hàm số y = f(t):
\(f'(t) = - \frac{{3{t^2}}}{{25600}} - \frac{{3t}}{{40}} + \frac{3}{{16}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \approx 2,49\\t \approx - 642,49\end{array} \right.\)
Vì t > 0 nên ta lấy \(t \approx 2,49\).
Khi đó \(MN \approx 25,23\); \(P\left( { - 2,49; - \frac{3}{{80}}.2,{{49}^2} + 60} \right)\); \(Q\left( { - 2,49;\frac{{{{( - 2,49)}^3}}}{{25600}} - \frac{{3( - 2,49)}}{{16}} + 35} \right)\).
Vậy \(MN + PQ \approx 25,23 + (59,77 - 35,47) = 49,5\).
Xác định phương trình đường parabol
Phương trình parabol có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\).
Từ các điểm mà đồ thị qua, thay tọa độ vào phương trình trên để tìm được hệ số a, b, c.
Tìm GTLN, GTNN của hàm số
Bước 1: Tìm tập xác định (trong trường hợp xét trên đoạn [a;b], tập xác định đang xét chính là đoạn đó).
Bước 2: Tính đạo hàm f’(x). Tìm các giá trị $x_1, x_2, ..., x_n$ thuộc đoạn [a;b] mà tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại. (Các điểm này còn được gọi là điểm cực trị hoặc điểm dừng nếu đạo hàm bằng 0, hoặc điểm kì dị nếu đạo hàm không tồn tại).
Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm vừa tìm được ở Bước 2 và tại hai đầu mút của đoạn [a;b]. Tức là tính các giá trị $f(a), f(x_1), f(x_2), ..., f(x_n), f(b)$.
Giá trị lớn nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTLN của hàm số trên đoạn [a;b].
Giá trị nhỏ nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTNN của hàm số trên đoạn [a;b].
Danh sách bình luận