Theo báo cáo của một cơ sở sản xuất nước tinh khiết, nếu mỗi ngày cơ sở này sản xuất x (\({m^3}\)/ngày) nước tinh khiết thì phải trả chi phí các khoản sau: 3 triệu đồng chi phí cố định; 0,15 triệu đồng cho mỗi mét khối sản phẩm; \(0,0003{x^2}\) triệu đồng chi phí bảo dưỡng máy móc. Biết công suất tối đa mỗi ngày của cơ sở này là 200 \({{\rm{m}}^3}\). Gọi C(x) là chi phí sản xuất x \({m^3}\) sản phẩm mỗi ngày và c(x) là chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm.
a) \(C(x) = 0,0003{x^2} + 0,15x + 5\) (triệu đồng).
b) Chi phí sản xuất 100 \({{\rm{m}}^3}\) nước tinh khiết là 20 triệu đồng.
c) \(\overline c (x) = 0,0003x + 0,15 + \frac{3}{x}\) (triệu đồng).
d) Chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm thấp nhất khi sản lượng nước tinh khiết sản xuất trong ngày là 100 \({{\rm{m}}^3}\).
a) \(C(x) = 0,0003{x^2} + 0,15x + 5\) (triệu đồng).
b) Chi phí sản xuất 100 \({{\rm{m}}^3}\) nước tinh khiết là 20 triệu đồng.
c) \(\overline c (x) = 0,0003x + 0,15 + \frac{3}{x}\) (triệu đồng).
d) Chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm thấp nhất khi sản lượng nước tinh khiết sản xuất trong ngày là 100 \({{\rm{m}}^3}\).
Lập hàm số C(x) là tổng các khoản chi phí; \(\overline c (x)\) là chi phí trung bình, tức tổng chi phí chia cho mỗi mét khối sản phẩm.
Ứng dụng đạo hàm, lập bảng biến thiên để giải bài toán.
a) Sai. Vì cơ sở sản xuất x \(\left( {{m^3}} \right)\) nước tinh khiết thì phải trả chi phí các khoản sau: 3 triệu đồng chi phí cố định; 0,15 triệu đồng cho mỗi mét khối sản phẩm; \(0,0003{x^2}\) chi phí bảo dưỡng máy móc, do đó chi phí sản xuất sản phẩm mỗi ngày là:
\(C(x) = 3 + 0,15x + 0,0003{x^2}\) (triệu đồng).
b) Sai. Chi phí sản xuất 100 \({{\rm{m}}^3}\) nước tinh khiết là:
\(C(100) = 3 + 0,15.100 + 0,{0003.100^2} = 21\) (triệu đồng).
c) Đúng. \(\overline c (x) = \frac{{C(x)}}{x} = \frac{{3 + 0,15x + 0,0003{x^2}}}{x} = \frac{3}{x} + 0,15 + 0,0003x\) (triệu đồng).
d) Đúng. Hàm chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm là:
\(\overline c (x) = \frac{3}{x} + 0,15 + 0,0003x\), \(0 < x \le 200\).
Đặt \(f(x) = \frac{3}{x} + 0,15 + 0,0003x\), suy ra \(f'(x) = - \frac{3}{{{x^2}}} + 0,0003\).
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow - \frac{3}{{{x^2}}} + 0,0003 = 0 \Rightarrow x = 100 \in (0;200]\).
Bảng biến thiên:
Dựa vào BBT thì chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm thấp nhất khi sản lượng nước tinh khiết sản xuất trong ngày là 100 \({{\rm{m}}^3}\).
Tìm GTLN, GTNN của hàm số
Bước 1: Tìm tập xác định (trong trường hợp xét trên đoạn [a;b], tập xác định đang xét chính là đoạn đó).
Bước 2: Tính đạo hàm f’(x). Tìm các giá trị $x_1, x_2, ..., x_n$ thuộc đoạn [a;b] mà tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại. (Các điểm này còn được gọi là điểm cực trị hoặc điểm dừng nếu đạo hàm bằng 0, hoặc điểm kì dị nếu đạo hàm không tồn tại).
Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm vừa tìm được ở Bước 2 và tại hai đầu mút của đoạn [a;b]. Tức là tính các giá trị $f(a), f(x_1), f(x_2), ..., f(x_n), f(b)$.
Giá trị lớn nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTLN của hàm số trên đoạn [a;b].
Giá trị nhỏ nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTNN của hàm số trên đoạn [a;b].
Danh sách bình luận