Hai công nhân cùng làm một công việc trong 18 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 6 giờ và người thứ hai làm 12 giờ thì chỉ hoàn thành được 50% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu?
Gọi thời gian người thứ nhất làm 1 mình xong công việc là \(x\,\,\left( h \right),\) thời gian người thứ hai làm một mình xong việc là \(y\,\,\left( h \right),\,\,\,\left( {x,\,\,y > 18} \right).\)
Từ giả thiết của bài toán, biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn vừa gọi và các đại lượng đã biết.
Từ đó lập hệ phương trình, giải hệ phương trình và đối chiếu với điều kiện của ẩn rồi kết luận.
Gọi thời gian người thứ nhất làm 1 mình xong công việc là \(x\,\,\left( h \right),\) thời gian người thứ hai làm một mình xong việc là \(y\,\,\left( h \right),\,\,\,\left( {x,\,\,y > 18} \right).\)
Trong 1 giờ người thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\)công việc; người thứ 2 làm được \(\frac{1}{y}\)công việc.
Vì 2 người cùng làm thì trong 18h thì xong việc nên nên ta có phương trình: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{18}}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(1)}\end{array}\)
Nếu người thứ nhất làm 6h và người thứ 2 làm 12h thì chỉ hoàn thành được 50% công việc nên ta có:
\(\frac{6}{x} + \frac{{12}}{y} = 50\% = \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{18}}\\\frac{6}{x} + \frac{{12}}{y} = \frac{1}{2}\end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l}\frac{{12}}{x} + \frac{{12}}{y} = \frac{2}{3}\\\frac{6}{x} + \frac{{12}}{y} = \frac{1}{2}\end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l}\frac{6}{x} = \frac{1}{6}\\\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{18}}\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 36\\\frac{1}{y} + \frac{1}{{36}} = \frac{1}{{18}}\end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l}x = 36\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = 36\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy thời gian người thứ nhất làm 1 mình xong công việc là 36h, thời gian người thứ hai làm một mình xong việc là 36h.
Bài toán này thuộc loại "bài toán năng suất công việc”. Phương pháp giải chung tập trung vào việc chuyển đổi thời gian hoàn thành công việc thành năng suất làm việc.
Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện.
- Gọi thời gian làm riêng của mỗi đối tượng (ví dụ: người thứ nhất là $x$ giờ, người thứ hai là $y$ giờ).
- Đặt điều kiện phù hợp cho các ẩn (ví dụ: $x, y > 0$, hoặc $x, y$ phải lớn hơn tổng thời gian làm chung nếu có).
Bước 2: Biểu diễn năng suất.
- Chuyển đổi thời gian hoàn thành toàn bộ công việc thành năng suất làm việc trong 1 đơn vị thời gian (ví dụ: nếu làm $x$ giờ thì năng suất là $\frac{1}{x}$ công việc/giờ).
- Biểu diễn lượng công việc hoàn thành trong một khoảng thời gian cụ thể (ví dụ: $6$ giờ làm được $\frac{6}{x}$ công việc).
Bước 3: Lập hệ phương trình.
Dựa vào các giả thiết của bài toán (ví dụ: hai người cùng làm xong trong 18 giờ; hoặc làm riêng trong một thời gian nhất định hoàn thành một phần công việc), thiết lập các phương trình liên quan đến các ẩn và năng suất. Bài toán thường dẫn đến một hệ phương trình.
Bước 4: Giải hệ phương trình và kết luận.
- Giải hệ phương trình đã lập để tìm giá trị của các ẩn.
- Đối chiếu nghiệm tìm được với các điều kiện đã đặt ra và loại bỏ nghiệm không thỏa mãn.
- Trình bày kết quả cuối cùng theo yêu cầu của đề bài.
Danh sách bình luận