Đề bài

Tính số trang của một cuốn sách biết rằng để đánh số trang của cuốn sách đó (bắt đầu từ trang 1) cần dùng đúng 3897 chữ số.

• A. \(1250\)
• B. \(1251\)
• C. \(1252\)
• D. \(1253\)

Phương pháp giải

+) Tính số chữ số cần viết khi các trang sách có 1 chữ số, 2 chữ số, 3 chữ số và 4 chữ số.

+) Tập hợp các số tự nhiên từ \(a\) đến \(b\) mà hai số kế tiếp cách nhau \(d\) đơn vị có \(\left| {b - a} \right|:d + 1\) phần tử.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Để đánh số trang từ trang \(1\)  đến trang \(9\)  cần viết \(9\)  chữ số.

Từ  trang \(10\)  đến trang \(99\)  có \(90\)  trang,  cần viết: \(90.2 = 180\) chữ số.

Từ  trang \(100\) đến trang \(999\) có \(\left( {999 - 100} \right) + 1 = 900\) trang.

Khi đó cần viết: \(900.3 = 2700\) chữ số.

Như vậy để đánh số trang các trang có 1 chữ số, 2 chữ số và 3 chữ số cần viết: \(9 + 180 + 2700 = 2889\) chữ số.

Theo đề bài ta có: Để đánh số hết các trang sách cần đánh \(3897\) chữ số nên số các chữ số để đánh các trang sách có 4 chữ số là: \(3897 - 2889 = 1008\) chữ số.

Suy ra số trang sách có \(4\) chữ  số là: \(1008:4 = 252\) trang.

Trang sách cuối cùng của cuốn sách đó là: \(252 - 1 + 1000 = 1251.\)

Vậy cuốn sách đó có \(1251\) trang.

Chọn B.

Đáp án : B

Mở rộng

Lý thuyết cơ bản áp dụng là công thức tính số phần tử của một dãy số tự nhiên liên tiếp (tập hợp). Số lượng các số tự nhiên từ $a$ đến $b$ mà mỗi số kế tiếp cách nhau $d$ đơn vị (trong trường hợp đánh số trang, $d=1$) được tính bằng công thức: $\frac{|b - a|}{d} + 1$.

Bài toán đã sử dụng công thức trên để xác định số lượng trang sách trong mỗi nhóm có cùng số chữ số, và từ đó tính tổng số chữ số cần dùng cho các trang đó:

- Trang có 1 chữ số (1-9): Có 9 trang, dùng $9 \times 1 = 9$ chữ số.

- Trang có 2 chữ số (10-99): Có 90 trang, dùng $90 \times 2 = 180$ chữ số.

- Trang có 3 chữ số (100-999): Có $\left( {999 - 100} \right) + 1 = 900$ trang, dùng $900 \times 3 = 2700$ chữ số.

Tổng số chữ số cho trang có 1, 2, 3 chữ số là $9 + 180 + 2700 = \textbf{2889 chữ số}$.

Vì tổng số chữ số cần dùng là 3897, số chữ số còn lại để đánh các trang có 4 chữ số là $3897 - 2889 = \textbf{1008 chữ số}$.

Mỗi trang có 4 chữ số cần 4 chữ số, nên số trang có 4 chữ số là $1008 \div 4 = \textbf{252 trang}$.

Các trang có 4 chữ số bắt đầu từ trang 1000. Do đó, trang sách cuối cùng của cuốn sách là $1000 + 252 - 1 = \textbf{1251}$.

Vậy cuốn sách có 1251 trang.

Phương pháp giải chung cho dạng bài này: Để giải dạng bài toán tính số trang khi biết tổng số chữ số dùng để đánh số trang, bạn có thể áp dụng phương pháp chia từng nhóm trang theo số chữ số (1 chữ số, 2 chữ số, 3 chữ số, v.v.) và tính toán như sau:

1. Tính số chữ số cần dùng cho từng nhóm trang:

- Nhóm trang có 1 chữ số (1-9): 9 trang x 1 chữ số/trang.

- Nhóm trang có 2 chữ số (10-99): 90 trang x 2 chữ số/trang.

- Nhóm trang có 3 chữ số (100-999): 900 trang x 3 chữ số/trang.

Và tiếp tục với các nhóm có số chữ số lớn hơn nếu cần.

2. Cộng tổng số chữ số đã dùng cho các nhóm trang đã tính ở bước 1.

3. Xác định số chữ số còn lại bằng cách lấy tổng số chữ số đề bài cho trừ đi tổng số chữ số đã dùng.

4. Tính số trang thuộc nhóm chữ số cuối cùng bằng cách chia số chữ số còn lại cho số chữ số mà mỗi trang trong nhóm đó có (ví dụ: chia cho 4 nếu là trang có 4 chữ số).

5. Tính số trang cuối cùng của cuốn sách: Lấy trang bắt đầu của nhóm chữ số cuối cùng cộng với số trang vừa tìm được ở bước 4, sau đó trừ đi 1 (vì trang bắt đầu đã được tính là 1 trang).