Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN

a) Tứ giác BMNC là hình gì ? vì sao ?

b) Tính các góc của tứ giác BMNC biết rằng  \(\angle {\rm{A}} = 40^\circ \)

Phương pháp giải

Áp dụng định nghĩa của hình thang: hình thang là tứ giác có 2 cạnh đối song song

Áp dụng định nghĩa của hình thang cân: hình thang cân là hình thang có 2 góc kề một đáy bằng nhau

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Tứ giác BMNC là hình gì ? Vì sao ?

Theo đề bài ta có: \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC\) và \(\angle B = \angle C = \frac{{{{180}^0} - \angle A}}{2}.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB = AM + BM\\AC = AN + NC\end{array} \right.\)

Mà \(BM = NC\,\,\left( {gt} \right) \) suy ra \(AM = AN\) (tính chất bắc cầu).

Do đó \(\Delta AMN\) cân tại \(A\), suy ra \(\angle AMN = \angle ANM = \frac{{{{180}^0} - \angle A}}{2}.\)

Suy ra \(\angle AMN = \angle B = \frac{{{{180}^0} - \angle A}}{2}\)

Mà hai góc này là hai góc đồng vị

Nên \(MN//BC \) suy ra \(BMNC\) là hình thang. (định nghĩa)

Lại có: \(\angle B = \angle C\,\,\,\left( {cmt} \right)\)

suy ra \(BMNC\) là hình thang cân. (dhnb)

b) Tính các góc của tứ giác BMNC biết rằng  \(\angle {\rm{A}} = 40^\circ \)

Ta có: \(\angle B = \angle C = \frac{{{{180}^0} - \angle A}}{2} = \frac{{{{180}^0} - {{40}^0}}}{2} = {70^0}.\)

Lại có: \(\angle BMN + \angle MNC + \angle B + \angle C = {360^0}\) (tổng các góc trong hình thang)

suy ra \(\angle BMN + \angle MNC = {360^0} - 2\angle B = {360^0} - {70^0}.2 = {220^0}\)

Do đó \(\angle BMN = \angle MNC = \frac{{{{220}^0}}}{2} = {110^0}.\) (do \(BMNC\) là hình thang cân).

Mở rộng

- Tam giác cân: Có hai cạnh bằng nhau và hai góc đáy bằng nhau. Tổng ba góc là $180^\circ$.

- Hình thang: Là tứ giác có hai cạnh đối song song.

- Hình thang cân: Là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

- Góc đồng vị: Các cặp góc đồng vị bằng nhau cho biết hai đường thẳng song song.

- Tổng các góc trong tứ giác: Bằng $360^\circ$.

Phương pháp giải chung:

- Sử dụng tính chất tam giác cân lớn: Từ $\triangle ABC$ cân tại $A$, suy ra các cặp cạnh và góc bằng nhau cơ bản.

- Chứng minh tam giác cân nhỏ và tính song song: Dựa vào giả thiết bổ sung ($BM=CN$) để chứng minh $\triangle AMN$ cân tại $A$. Sau đó, dùng các cặp góc đồng vị bằng nhau để suy ra $MN // BC$, chứng minh tứ giác là hình thang.

- Chứng minh tính cân của hình thang: Dùng điều kiện góc đáy bằng nhau của $\triangle ABC$ ($\angle B = \angle C$) để kết luận tứ giác là hình thang cân.

- Tính toán góc (nếu cần): Áp dụng công thức tính góc đáy tam giác cân và tổng các góc trong tứ giác để tìm các góc còn lại.