Đề bài

Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).

a) Xác định tọa độ các đỉnh, tiêu tiêu và tìm tâm sai của (E).

b) Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có tiêu điểm có hoành độ dương của (E).

c) Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) có hai đỉnh là hai tiêu điểm của (E), hai tiêu điểm là hai đỉnh của (E). Tìm tâm sai của (H).

Phương pháp giải

Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\).

+ 4 đỉnh là \({A_1}\left( { - a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right),{B_1}\left( {0; - b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right)\).

+ Kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 2a và 2b.

+ Tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\).

+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}} \).

+ Độ dài trục lớn: \(2a\), độ dài trục nhỏ: \(2b\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) có \(a = 5,b = 3 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 4\).

+ 4 đỉnh là \({A_1}\left( { - 5;0} \right),{A_2}\left( {5;0} \right),{B_1}\left( {0; - 3} \right),{B_2}\left( {0;3} \right)\).

+ Tiêu điểm \({F_1}( - 4;0),{F_2}(4;0)\).

+ Tâm sai \(e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}\).

b) Parabol (P)  \({y^2} = 2px\) có tiêu điểm: \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right) \equiv {F_2}(4;0)\) suy ra \(\frac{p}{2} = 4\) hay \(p = 8\).

Vậy PTCT của (P) là: \({y^2} = 16x\).

c) Hypebol (H) \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

+ Tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0),\) trùng với \({A_1}\left( { - 5;0} \right),{A_2}\left( {5;0} \right)\) tức là \(c = 5\).

+ 2 đỉnh \({A_1}\left( { - a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right)\) trùng với \({F_1}( - 4;0),{F_2}(4;0),\) tức là \(a = 4\).

\( \Rightarrow \) Tâm sai của (H) là \(e = \frac{c}{a} = \frac{5}{4}\).