Đề bài

Cho đường conic có tiêu điểm F, đường chuẩn \(\Delta \) và một điểm M là điểm nằm trên đường conic đó. Tìm mối liên hệ giữa tỉ số \(\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}}\) và tên gọi của đường conic đó.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

+ Elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), \(M(x;y) \in (E)\).

\(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{a + ex}}{{\frac{{a + ex}}{e}}} = e\), \(\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = \frac{{a - ex}}{{\frac{{a - ex}}{e}}} = e\).

Vậy \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = e = \frac{c}{a} < 1\).

+ Hypebol (H):  \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), \(M(x;y) \in (H)\).

\(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{{\left| {x + \frac{a}{e}} \right|}} = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{{\frac{{\left| {a + ex} \right|}}{e}}} = e\); \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{\left| {a - ex} \right|}}{{\left| {x - \frac{a}{e}} \right|}} = \frac{{\left| {a - ex} \right|}}{{\frac{{\left| {a - ex} \right|}}{e}}} = e\) ;

Vậy \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = e = \frac{c}{a} > 1\).

+ Parabol (P)  \({y^2} = 2px\).

\(\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = e = 1\).

Kết luận các đường conic đều có \(\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = e\) và:

\(\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} < 1\) thì conic là đường elip.

\(\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = 1\) thì conic là đường parabol.

\(\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} > 1\) thì conic là đường hypebol.