Đề bài

Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4km và một đoạn xuống dốc dài 5km. Một người đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút và đi từ B về A hết 41 phút (vận tốc lên dốc, xuống dốc lúc đi và về như nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc.

Phương pháp giải

Gọi vận tốc lúc lên dốc và vận tốc lúc xuống dốc theo thứ tự là \(x,y\) (km/h) (\(x,y > 0\))

* Lúc đi từ A đến B: Đoạn lên dốc dài 4km và đoạn xuống dốc dài 5km

* Lúc đi từ B đến A: Đoạn lên dốc dài 5 km và đoạn xuống dốc dài 4 km

Sử dụng công thức liên hệ giữa quãng đường với vận tốc và thời gian:

Thời gian = Quãng đường : vận tốc

để biểu diễn hai phương trình:

+ Lúc đi từ A đến B

+ Lúc đi từ B về A

Ta lập được hệ phương trình hai ẩn \(\frac{1}{x};\frac{1}{y}\).

Đặt ẩn phụ \(X = \frac{1}{x}\); \(Y = \frac{1}{y}\) để đưa hệ phương trình về hệ hai phương trình ẩn X và Y.

Giải hệ phương trình.

Kiểm tra nghiệm.

Thay lại vào \(X = \frac{1}{x}\); \(Y = \frac{1}{y}\) để tìm \(x,y\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi vận tốc lúc lên dốc và vận tốc lúc xuống dốc theo thứ tự là \(x,y\) (km/h) (\(x,y > 0\))

* Lúc đi từ A đến B: Đoạn lên dốc dài 4km và đoạn xuống dốc dài 5km

* Lúc đi từ B đến A: Đoạn lên dốc dài 5 km và đoạn xuống dốc dài 4 km

Thời gian đi lên dốc là \(\frac{4}{x}\) (h), thời gian xuống dốc là: \(\frac{5}{y}\) (h)

Theo đầu bài thời gian đi A đến B là 40 phút = \(\frac{2}{3}\) h nên \(\frac{4}{x} + \frac{5}{y} = \frac{2}{3}\,\left( 1 \right)\)

* Lúc đi từ B đến A: Đoạn lên dốc dài 5 km và đoạn xuống dốc dài 4 km

Thời gian đi lên dốc là \(\frac{5}{x}\) (h), thời gian xuống dốc là: \(\frac{4}{y}\) (h)

Theo đầu bài thời gian đi A đến B là 41 phút = \(\frac{{41}}{{60}}\) h nên: \(\frac{5}{x} + \frac{4}{y} = \frac{{41}}{{60}}\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{4}{x} + \frac{5}{y} = \frac{2}{3}}\\{\frac{5}{x} + \frac{4}{y} = \frac{{41}}{{60}}}\end{array}} \right.\)

Đặt \(X = \frac{1}{x}\); \(Y = \frac{1}{y}\), hệ phương trình trên trở thành:

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4X + 5Y = \frac{2}{3}}\\{5X + 4Y = \frac{{41}}{{60}}}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{16X + 20Y = \frac{8}{3}}\\{25X + 20Y = \frac{{41}}{{12}}}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{9X = \frac{3}{4}}\\{4X + 5Y = \frac{2}{3}}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{X = \frac{1}{{12}}}\\{Y = \frac{1}{{15}}}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 12}\\{y = 15}\end{array}} \right.\left( {TM} \right)\end{array}\)

Vậy vậy tốc độ lúc lên dốc là 12km/h, vận tốc lúc xuống dốc là 15km/h.

Mở rộng

Bài toán này dựa trên lý thuyết cơ bản về chuyển động đều, cụ thể là mối quan hệ giữa quãng đường, vận tốc và thời gian.

- Công thức cơ bản: Mối liên hệ giữa quãng đường, vận tốc và thời gian được biểu diễn bằng công thức: $\text{Thời gian} = \frac{\text{Quãng đường}}{\text{Vận tốc}}$.

Từ công thức này, ta cũng có thể suy ra: $\text{Quãng đường} = \text{Vận tốc} \times \text{Thời gian}$ và $\text{Vận tốc} = \frac{\text{Quãng đường}}{\text{Thời gian}}$.

- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: Bài toán này quy về việc giải một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Đây là một tập hợp các phương trình mà nghiệm chung của chúng cần được tìm.

Dưới đây là phiên bản ngắn gọn hơn của phần mở rộng câu hỏi của bạn:

Phương pháp giải chung cho dạng bài này

Bước 1: Đặt ẩn và điều kiện. Gọi vận tốc cần tìm ($x, y$) và đặt điều kiện $x, y > 0$.

Bước 2: Phân tích bài toán và lập phương trình.

- Xác định quãng đường dốc lên/xuống cho mỗi chiều đi/về.

- Chuyển đổi thống nhất đơn vị thời gian (phút sang giờ).

- Áp dụng công thức Thời gian = Quãng đường : Vận tốc để lập hai phương trình dựa trên tổng thời gian của hai chiều.

Bước 3: Giải hệ phương trình.

- Đặt ẩn phụ ($X = \frac{1}{x}, Y = \frac{1}{y}$) để đơn giản hóa hệ về dạng tuyến tính.

- Giải hệ để tìm giá trị của ẩn phụ.

- Tìm lại giá trị của các ẩn gốc $x, y$.

Bước 4: Kiểm tra và kết luận. So sánh nghiệm với điều kiện ban đầu và đưa ra kết luận cuối cùng.