Đề bài

Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày, đội I làm được nhiều gấp rưỡi đội II. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu?

(Giả sử năng suất của mỗi đội là không đổi).

Phương pháp giải

Gọi x, y lần lượt là số ngày để đội I và đội II hoàn thành công việc nếu làm riêng một mình \((x,y > 0)\).

Mỗi ngày đội I làm được \(\frac{1}{x}\) (công việc) và đội II làm được \(\frac{1}{y}\) (công việc).

Mỗi ngày đội I làm được nhiều gấp rưỡi đội II nên ta có phương trình thứ nhất.

Hai đội làm chung trong 24 ngày thì xong công việc nên mỗi ngày, hai đội làm chung được \(\frac{1}{{24}}\) (công việc), ta có phương trình thứ hai.

Từ đó ta có hệ phương trình với \(\frac{1}{x}\) và \(\frac{1}{y}\).

Đặt \(u = \frac{1}{x}\) và \(v = \frac{1}{y}\) thì ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mới là u và v.

Giải hệ để tìm u, v.

Từ đó tìm x, y.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi x, y lần lượt là số ngày để đội I và đội II hoàn thành công việc nếu làm riêng một mình \((x,y > 0)\).

Mỗi ngày đội I làm được \(\frac{1}{x}\) (công việc) và đội II làm được \(\frac{1}{y}\) (công việc).

Mỗi ngày đội I làm được nhiều gấp rưỡi đội II nên ta có phương trình \(\frac{1}{x} = 1,5 \cdot \frac{1}{y}\) hay

\(\frac{1}{x} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{y}\) (1).

Hai đội làm chung trong 24 ngày thì xong công việc nên mỗi ngày, hai đội làm chung được \(\frac{1}{{24}}\) (công việc).

Ta có phương trình: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{24}}\) (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{x} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{y}}\\{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{24}}}\end{array}} \right.\)

Đặt \(u = \frac{1}{x}\) và \(v = \frac{1}{y}\) thì ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mới là u và v như sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = \frac{3}{2}v}\\{u + v = \frac{1}{{24}}}\end{array}} \right.\)

Thế \(u = \frac{3}{2}v\) vào phương trình \(u + v = \frac{1}{{24}}\) được \(\frac{3}{2}v + v = \frac{1}{{24}}\) hay \(\frac{5}{2}v = \frac{1}{{24}}\) suy ra \(v = \frac{1}{{60}}.\)

Do đó, \(u = \frac{3}{2}v = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{{60}} = \frac{1}{{40}}\).

Từ đó, ta có: \(u = \frac{1}{x} = \frac{1}{{40}}\) suy ra \(x = 40\); \(v = \frac{1}{y} = \frac{1}{{60}}\) suy ra \(y = 60\).

Các giá trị tìm được của x và y đều thỏa mãn điều kiện.

Vậy nếu làm một mình thì đội I làm xong đoạn đường đó trong 40 ngày, còn đội II làm xong trong 60 ngày.

Mở rộng

Dạng bài toán này thuộc loại bài toán năng suất hay bài toán làm chung công việc.

- Năng suất của một đội/người được định nghĩa là phần công việc hoàn thành trong một đơn vị thời gian (ví dụ: mỗi ngày).

- Nếu một đội hoàn thành công việc trong $x$ ngày, thì năng suất mỗi ngày của đội đó là $\frac{1}{x}$ (phần công việc/ngày).

- Khi hai đội cùng làm việc, tổng năng suất của họ bằng tổng năng suất riêng lẻ của từng đội. Ví dụ, nếu đội I có năng suất $\frac{1}{x}$ và đội II có năng suất $\frac{1}{y}$, thì khi làm chung, năng suất của họ là $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$.

- Nếu hai đội làm chung hoàn thành công việc trong $T$ ngày, thì tổng năng suất mỗi ngày của họ là $\frac{1}{T}$.

Phương pháp giải chung cho dạng bài toán năng suất:

Bước 1: Xác định và đặt biến:

Gọi các biến đại diện cho thời gian mỗi cá nhân hoặc đội hoàn thành toàn bộ công việc một mình (ví dụ: $x, y, z$...). Đặt điều kiện phù hợp cho biến (ví dụ: $x, y, z > 0$).

Bước 2: Biểu diễn năng suất:

Biểu diễn năng suất của mỗi cá nhân/đội trong một đơn vị thời gian (ví dụ: mỗi ngày, mỗi giờ) dưới dạng phân số (ví dụ: $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}$). Coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị.

Bước 3: Lập các phương trình:

Dựa vào các thông tin trong đề bài để thiết lập các phương trình. Các mối quan hệ thường gặp:

- Mối quan hệ năng suất giữa các đối tượng: Ví dụ, một người làm nhanh gấp mấy lần người khác.

- Tổng năng suất khi làm chung: Nếu các đối tượng làm chung và hoàn thành công việc trong thời gian $T$, thì tổng năng suất của họ là $\frac{1}{T}$.

- Phần việc hoàn thành trong một khoảng thời gian: Năng suất nhân với thời gian làm việc sẽ ra phần công việc đã hoàn thành.

Bước 4: Giải hệ phương trình:

- Thường các bài toán này sẽ dẫn đến một hệ phương trình. Có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ (ví dụ: đặt $u = \frac{1}{x}, v = \frac{1}{y}$) để chuyển về hệ phương trình bậc nhất, giúp việc giải toán dễ dàng hơn.

- Sử dụng các phương pháp giải hệ phương trình như phương pháp thế, cộng đại số để tìm giá trị của các ẩn phụ, rồi từ đó tìm giá trị của các biến ban đầu ($x, y$).

Bước 5: Kiểm tra và kết luận:

- So sánh các giá trị tìm được với điều kiện ban đầu của biến (ví dụ: $x, y > 0$).

- Trình bày kết quả một cách rõ ràng, phù hợp với yêu cầu của đề bài.