Đề bài

Xí nghiệp \( A \) sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết rằng hàm tổng chi phí sản xuất là \( TC = x^3 - 77x^2 + 1000x + 4000 \) và hàm doanh thu là \( TR = -2x^2 + 1312x \), với \( x \) là số sản phẩm. Lợi nhuận của xí nghiệp \( A \) được xác định bằng hàm số \( f(x) = TR - TC \), cực đại lợi nhuận của xí nghiệp \( A \) khi đó đạt bao nhiêu sản phẩm?

Phương pháp giải

Xét hàm \( f(x) = TR - TC \): Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên để tìm cực đại của hàm số.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

\( f(x) = TR - TC = -2x^2 + 1312x - \left( x^3 - 77x^2 + 1000x + 4000 \right) \)

\( = -x^3 + 75x^2 + 312x - 4000 \).

TXĐ: \( D = (0; +\infty) \).

Ta có 

\(f'(x) =  - 3{x^2} + 150x + 312 = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 52}\\{x =  - 2}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{(L)}\\{(TM)}\end{array}\)

Bảng biến thiên:

Vậy lợi nhuận của công ty đạt cực đại khi số sản phẩm bằng 52.

Mở rộng

Tìm GTLN, GTNN của hàm số

Bước 1: Tìm tập xác định (trong trường hợp xét trên đoạn [a;b], tập xác định đang xét chính là đoạn đó).

Bước 2: Tính đạo hàm f’(x). Tìm các giá trị $x_1, x_2, ..., x_n$ thuộc đoạn [a;b] mà tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại. (Các điểm này còn được gọi là điểm cực trị hoặc điểm dừng nếu đạo hàm bằng 0, hoặc điểm kì dị nếu đạo hàm không tồn tại).

Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm vừa tìm được ở Bước 2 và tại hai đầu mút của đoạn [a;b]. Tức là tính các giá trị $f(a), f(x_1), f(x_2), ..., f(x_n), f(b)$.

Giá trị lớn nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTLN của hàm số trên đoạn [a;b].

Giá trị nhỏ nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTNN của hàm số trên đoạn [a;b].