Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), ta xét parabol (P) với phương trình chính tắc \({y^2} = 2px\) trong đó \(p > 0\) (Hình 20).

 

a) So sánh khoảng cách từ MF từ điểm M đến tiêu điểm F và khoảng cách MK từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta \).

b) Tính độ dài đoạn thẳng MK. Từ đó tính độ dài đoạn thẳng MF.

Phương pháp giải

Cho parabol có PTCT: \({y^2} = 2px\) trong đó \(p > 0\).

+ Tiêu điểm: \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\).

+ Đường chuẩn: \(\Delta :x =  - \frac{p}{2}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Khoảng cách MF từ điểm M đến tiêu điểm F bằng khoảng cách MK từ điểm M đến đường chuẩn \(\Delta \).

b) Ta có:

\(MF = \sqrt {{{\left( {x - \frac{p}{2}} \right)}^2} + {y^2}}  = \sqrt {{x^2} - px + \frac{{{p^2}}}{4} + 2px}  = \sqrt {{x^2} + px + \frac{{{p^2}}}{4}}  = \sqrt {{{\left( {x + \frac{p}{2}} \right)}^2}}  = x + \frac{p}{2}\).

Phương trình đường chuẩn \(\Delta :x =  - \frac{p}{2} \Rightarrow \Delta :x + 0y + \frac{p}{2} = 0\).

Khoảng cách MK từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta \) là: \(MK = \frac{{\left| {x + 0y + \frac{p}{2}} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \left| {x + \frac{p}{2}} \right| = x + \frac{p}{2}\).

Vậy \(MF = MK = x + \frac{p}{2}\).