Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{64}} - \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\). Lập phương trình chính tắc của hypebol (E), biết rằng (E) có các tiêu điểm là tiêu điểm của (H) và các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) cũng nằm trên (E).

Phương pháp giải

Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:

+ Tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\).

+ Hình chữ nhật cơ sở có 4 đỉnh \(P\left( { - a;b} \right),Q\left( {a;b} \right),R\left( {a; - b} \right),S - \left( {a;b} \right).\)

Cho hypebol (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\).

+ Tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\).

+ 4 đỉnh là \({A_1}\left( { - a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right),{B_1}\left( {0; - b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right).\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Hypebol (H) có \(a = 8,b = 6 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 10\) nên ta có một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là \(M\left( {8;6} \right)\).

Phương trình hypebol (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\).

+ Ta có: (E) có các tiêu điểm là tiêu điểm của (H) nên \(c = 10 \Rightarrow {a^2} - {b^2} = {c^2} = 100\).

+ Các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) cũng nằm trên (E) \( \Rightarrow M\left( {8;6} \right) \in \left( E \right) \Rightarrow \frac{{{8^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{6^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

Ta có: \({a^2} - {b^2} = 100 \Rightarrow {a^2} = {b^2} + 100\)\( \Rightarrow \frac{{{8^2}}}{{{b^2} + 100}} + \frac{{{6^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow 64{b^2} + 36\left( {{b^2} + 100} \right) = {b^4} + 100{b^2}\).

\( \Rightarrow {b^4} = 36.100 \Rightarrow {b^2} = 6.10 = 60 \Rightarrow {a^2} = 60 + 100 = 160\).

Khi đó phương trình chính tắc của hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{{160}} + \frac{{{y^2}}}{{60}} = 1\)