Đề bài

Với mỗi điểm M thuộc hypebol (H), từ hai đẳng thức \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2 = 4cx\) và \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a\), chứng minh \(M{F_1} = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right| = \left| {a + ex} \right|\) và \(M{F_2} = \left| {a - \frac{c}{a}x} \right| = \left| {a - ex} \right|\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

+ Ta có: \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2 = \left( {M{F_1} - M{F_2}} \right)\left( {M{F_1} + M{F_2}} \right) = \left( {M{F_1} - M{F_2}} \right).\left| {2a} \right| = 4cx\).

\( \Rightarrow M{F_1} - M{F_2} = \frac{{2c}}{{\left| a \right|}}x\).

+ Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} + M{F_2} = \left| {2a} \right|\quad \left( 1 \right)\\M{F_1} - M{F_2} = \frac{{2c}}{{\left| a \right|}}x\quad \left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(2M{F_1} = \left| {2a} \right| + \frac{{2c}}{{\left| a \right|}}x \Rightarrow M{F_1} = \left| a \right| + \frac{c}{{\left| a \right|}}x = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right| = \left| {a + ex} \right|\).

\(M{F_2} = 2\left| a \right| - M{F_1} = 2\left| a \right| - \left( {\left| a \right| + \frac{c}{{\left| a \right|}}x} \right) = \left| a \right| - \frac{c}{{\left| a \right|}}x\)\( = \left| {a - \frac{c}{a}x} \right| = \left| {a - ex} \right|\).