Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), ta xét hypebol (H) với phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\) (Hình 13).
a) Tìm tọa độ của hai tiêu điểm \({F_1},{F_2}\) của hypebol \(\left( H \right)\).
b) Hypebol \(\left( H \right)\) cắt trục \(Ox\) tại các điểm \({A_1},{A_2}\). Tìm độ dài các đoạn thẳng \(O{A_1},O{A_2}\).
Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:
+ Tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\).
+ Độ dài trục thực: \(2a\), độ dài trục ảo: \(2b\).
a) \({F_1},{F_2}\) là tiêu điểm của hypebol (H) có tọa độ \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\) với \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
b) \({A_1},{A_2}\) là giao điểm của (H) với Ox \( \Rightarrow {y_{{A_1}}} = {y_{{A_2}}} = 0 \Rightarrow \frac{{{x_{{A_1}}}^2}}{{{a^2}}} = 1;\frac{{{x_{{A_2}}}^2}}{{{a^2}}} = 1 \Rightarrow {x_{{A_1}}} = - a;{x_{{A_2}}} = a\).
Hay \({A_1}( - a;0),{A_2}(a;0)\) \( \Rightarrow O{A_1} = O{A_2} = a\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Cho hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{64}} - \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\).
a) Tìm tiêu cự và độ dài các trục.
b) Tìm các đỉnh và các đường tiệm cận.
Bài 2 :
Trong mặt phẳng tọa độ, cho hypebol có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
a) Hãy giải thích vì sao, nếu điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc hypebol thì các điểm có tọa độ \(({x_0}; - {y_0}),( - {x_0};{y_0}),( - {x_0}; - {y_0})\) cũng thuộc hypebol (H.3.12).
b) Tìm tọa độ các giao điểm của hypebol với trục hoành. Hypebol có cắt trục tung hay không? Vì sao?
c) Với điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc hypebol, hãy so sánh \(\left| {{x_0}} \right|\) với \(a\)
Bài 3 :
Một sao chổi đi qua hệ Mặt Trời theo quỹ đạo là một nhánh hypebol nhận tâm Mặt trời là một tiêu điểm, khoảng cách gần nhất từ sao chổi này đến tâm Mặt trời là \({3.10^8}\) km và tâm sai của quỹ đạo hypebol là 3,6 (H.3.15). Hãy lập phương trình chính tắc của hypebol chứa quỹ đạo, với 1 đơn vị đo trên mặt phẳng tọa độ ứng với \({10^8}\) km trên thực tế.
Bài 4 :
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hypebol (H) có phương trình chính tắc, có tâm sai \(e = 2\) và một đường chuẩn là \(x = 8\). Lập phương trình chính tắc của (H).
Bài 5 :
Cho hypebol có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với các tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0),\)ở đây \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \) (H.3.6). Xét các đường thẳng \({\Delta _1}:x = - \frac{{{a^2}}}{c}\) và \({\Delta _2}:x = \frac{{{a^2}}}{c}\).
Với điểm M (x; y) thuộc hypebol, tính các tỉ số \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}}\) và \(\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}}\) theo a và c.
Bài 6 :
Cho hypebol \(\frac{{{x^2}}}{1} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\) với hai tiêu điểm \({F_1}( - 2;0),{F_2}(2;0)\). Điểm M nào thuộc hypebol mà có độ dài bán kính qua tiêu \(M{F_2}\) nhỏ nhất? Tính khoảng cách từ điểm đó tới các tiêu điểm.
Bài 7 :
Cho hypebol có độ dài trục thực bằng 6, độ dài trục ảo bằng \(6\sqrt 3 \). Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của một điểm M thuộc hypebol và có hoành độ bằng 9.
Bài 8 :
Hiệu độ dài hai bán kính qua tiêu của một điểm thuộc hypebol có mối quan hệ gì với độ dài trục thực?
Bài 9 :
Cho điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc hypebol có hai tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\), độ dài trục thực bằng 2a.
a) Tính \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2\).
b) Giả sử \(M({x_0};{y_0})\) thuộc nhánh chứa đỉnh \({A_2}(a;0)\), tức là, \(M{F_1} - M{F_2} = 2a\). Tính \(M{F_1} + M{F_2},M{F_1},M{F_2}\).
c) Giả sử \(M({x_0};{y_0})\) thuộc nhánh chứa đỉnh \({A_1}( - a;0)\), tức là, \(M{F_2} - M{F_1} = 2a\). Tính \(M{F_1} + M{F_2},M{F_1},M{F_2}\).
Bài 10 :
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).
Xác định tọa độ các đỉnh, độ dài các trục, tâm sai và phương trình các đường chuẩn của hypebol.
Bài 11 :
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{7} = 1\).
Tính bán kính qua tiêu của điểm M thuộc hypebol, biết điểm M có hoành độ bằng 12.
Bài 12 :
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H) có phương trình chính tắc. Lập phương trình chính tắc của (H) trong mỗi trường hợp sau:
a) (H) có nửa khung thực tế bằng 4, tiêu cự bằng 10.
b) (H) có tiêu cự bằng \(2\sqrt {13} \), một đường tiệm cận là \(y = \frac{2}{3}x\).
c) (H) có tâm sai bằng \(e = \sqrt 5 \), và đi qua điểm \((\sqrt {10} ;6)\).
Bài 13 :
Một hypebol mà độ dài trục thực bằng độ dài trục ảo được gọi là hypebol vuông. Tìm tâm sai và phương trình hai đường tiệm cận của hypebol vuông.
Bài 14 :
Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.
Bài 15 :
Bốn trạm phát tín hiệu vô tuyến có vị trí A, B, C, D theo thứ tự đó thẳng hàng và cách đều với khoảng cách 200 km (H.3.16). Tại một thời điểm, bốn trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc 292 000 km/s. Một tàu thủy nhận được tín hiệu từ trạm C trước 0,0005 s so với tín hiệu từ trạm B và nhận được tín hiệu từ trạm D sớm 0,001 s so với tín hiệu từ trạm A.
a) Tính hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm B, C.
b) Tính hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm A, D.
c) Chọn hệ trục tọa độ Oxy như trong Hình 3.16 (1 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ ứng với 100 km trên thực tế). Hãy lập phương trình chính tắc của hai hypebol đi qua vị trí M của tàu.
d) Tính khoảng cách từ tàu đến các trạm B, C (đáp số được làm tròn đến hàng đơn vị, tính theo đơn vị km)
Bài 16 :
Cho đường conic (S) có tâm sai bằng 2, một tiêu điểm \(F( - 2;5)\) và đường chuẩn tương ứng với tiêu điểm đó là \(\Delta :x + y - 1 = 0\). Chứng minh rằng, điểm \(M(x;y)\) thuộc đường conic (S) khi và chỉ khi \({x^2} + {y^2} + 4xy - 8x + 6y - 27 = 0\) (được gọi là phương trình của (S), tuy vậy không phải là phương trình chính tắc). Hỏi (S) là đường gì trong ba đường conic?
Bài 17 :
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), ta xét hypebol (H) với phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\) (Hình 14). Cho điểm \(M\left( {x;y} \right)\) nằm trên hypebol (H). Gọi \({M_1},{M_2},{M_3}\) lần lượt là điểm đối xứng của M qua trục Ox, trục Oy và gốc O. Các điểm \({M_1},{M_2},{M_3}\) có nằm trên hypebol (H) không? Tại sao?
Bài 18 :
Viết phương trình chính tắc của hypebol có một đỉnh là \({A_2}\left( {5;0} \right)\) và một đường tiệm cận là \(y = - 3x\).
Bài 19 :
a) Quan sát điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc hypebol (H) (Hình 15) và chứng tỏ rằng \(x \le - a\) hoặc \(x \ge a\).
b) Viết phương trình hai đường thẳng PR và QS.
Bài 20 :
Viết phương trình chính tắc của hypebol, biết độ trục ảo bằng 6 và tâm sai bằng \(\frac{5}{4}\).
Bài 21 :
Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc: \(\frac{{{x^2}}}{{144}} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\). Giả sử điểm M là diderm chuẩn thuộc hypebol có hoành độ là 15. Tìm độ dài các bán kính qua tiêu của điểm M.
Bài 22 :
Với mỗi điểm M thuộc hypebol (H), từ hai đẳng thức \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2 = 4cx\) và \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a\), chứng minh \(M{F_1} = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right| = \left| {a + ex} \right|\) và \(M{F_2} = \left| {a - \frac{c}{a}x} \right| = \left| {a - ex} \right|\).
Bài 23 :
Trong mặt phẳng, xét đường hypebol (H) là tập hợp các điểm M sao cho \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a\), ở đó \({F_1}{F_2} = 2c\) với \(c > a > 0\). Ta chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) có gốc là trung điểm của đoạn thẳng \({F_1}{F_2}\). Trục \(Oy\) là đường trung trực của \({F_1}{F_2}\) và \({F_2}\) nằm trên tia \(Ox\) (Hình 16). Khi đó \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\) là các tiêu diểm của hypebol (H).
Giả sử điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc hypebol (H), chứng minh:
a) \(M{F_1}^2 = {x^2} + 2cx + {c^2} + {y^2}\).
b) \(M{F_2}^2 = {x^2} - 2cx + {c^2} + {y^2}\).
c) \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2 = 4cx\).
Bài 24 :
Viết phương trình chình tắc của đườn hypebol biết một tiêu điểm là \({F_2}(\sqrt 2 ;0)\) và đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó là: \(x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Bài 25 :
Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\).
Xét đường thẳng \({\Delta _1}:x = - \frac{a}{e}\) với mỗi điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( H \right)\) (Hình 17), tính:
a) Khoảng cách \(d\left( {M,{\Delta _1}} \right)\) từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \({\Delta _1}\).
b) Tỉ số \(\frac{{M{F_1}}}{{d\left( {M,{\Delta _1}} \right)}}\).
Bài 26 :
Cho hypebol (H) có một đỉnh là \({A_1}( - 4;0)\) và tiêu cự là 10. Viết phương trình chính tắc và vẽ hypebol (H).
Bài 27 :
Viết phương trình chính tắc của hypebol (H), biết:
a) Tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 3;0} \right)\) và đỉnh là \({A_2}\left( {2;0} \right)\).
b) Đỉnh là \({A_2}\left( {4;0} \right)\) và tiêu cự bằng 10.
c) TIêu điểm \({F_2}\left( {4;0} \right)\) và phương trình một đường tiệm cận là \(y = - \frac{{\sqrt 7 }}{3}x\).
Bài 28 :
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\).
a) Xác định tọa độ các đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục thực của hypebol.
b) Xác định phương trình các đường tiệm cận của hypebol và vẽ hypebol trên.
Bài 29 :
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol có phương trình chính tắc là \({x^2} - {y^2} = 1\). Chứng minh rằng hai đường tiệm cận của hypebol vuông góc với nhau.
Bài 30 :
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{64}} - \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\). Lập phương trình chính tắc của hypebol (E), biết rằng (E) có các tiêu điểm là tiêu điểm của (H) và các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) cũng nằm trên (E).
Danh sách bình luận