Đề bài

Giả sử đường elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\), ở đó \({F_1}{F_2} = 2c\) với \(0 < c < a\). Ta chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) có gốc là trung điểm của đoạn thẳng \({F_1}{F_2}\). Trục \(Oy\) là đường trung trực của \({F_1}{F_2}\) và \({F_2}\) nằm trên tia \(Ox\) (Hình 8). Khi đó \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\) là các tiêu diểm của elip (E).

 

Giả sử điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc elip (E).

Chứng minh rằng:

a) \(M{F_1}^2 = {x^2} + 2cx + {c^2} + {y^2}\).

b) \(M{F_2}^2 = {x^2} - 2cx + {c^2} + {y^2}\).

c) \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2 = 4cx\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Ta có: \(\overrightarrow {M{F_1}}  = \left( { - c - x; - y} \right) \Rightarrow M{F_1}^2 = {\left( { - c - x} \right)^2} + {y^2} = {x^2} + 2cx + {c^2} + {y^2}\).

b) Ta có: \(\overrightarrow {M{F_2}}  = \left( {c - x; - y} \right) \Rightarrow M{F_2}^2 = {\left( {c - x} \right)^2} + {y^2} = {x^2} - 2cx + {c^2} + {y^2}\).

c) \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2 = \left( {{x^2} + 2cx + {c^2} + {y^2}} \right) - \left( {{x^2} - 2cx + {c^2} + {y^2}} \right) = 4cx\).