Đề bài

Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Giả sử \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm thuộc elip. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của bán kính qua tiêu \(M{F_1}\) và \(M{F_2}\).

Phương pháp giải

Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\).

Độ dài bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) trên (E) là: \(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x;M{F_2} = a - \frac{c}{a}x\).

\(M{F_1}\) có giá trị nhỏ nhất là \(a - c\) khi \(x =  - a\) và có giá trị lớn nhất là \(a + c\) khi \(x = a\).

\(M{F_2}\) có giá trị nhỏ nhất là \(a - c\) khi \(x = a\) và có giá trị lớn nhất là \(a + c\) khi \(x =  - a\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vì \( - a \le x \le a\) nên \(a + \frac{c}{a}\left( { - a} \right) \le a + \frac{c}{a}x \le a + \frac{c}{a}\left( a \right) \Leftrightarrow a - c \le M{F_1} \le a + c\).

Vậy \(M{F_1}\) có giá trị nhỏ nhất là \(a - c\) khi \(x =  - a\) và có giá trị lớn nhất là \(a + c\) khi \(x = a\).

Tương tự với \(M{F_2}\), ta có \( - a \le x \le a \Rightarrow a \ge  - x \ge  - a\) hay \( - a \le x \le a\) nên \(a - \frac{c}{a}\left( a \right) \le a - \frac{c}{a}x \le a - \frac{c}{a}\left( { - a} \right) \Leftrightarrow a - c \le M{F_2} \le a + c\).

Vậy \(M{F_2}\) có giá trị nhỏ nhất là \(a - c\) khi \(x = a\) và có giá trị lớn nhất là \(a + c\) khi \(x =  - a\).