Đề bài

Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) với tiêu điểm \({F_2}\left( {\sqrt 5 ;0} \right)\). Tìm tọa độ \(M \in \left( E \right)\) sao cho độ dài \({F_2}M\) nhỏ nhất.

Phương pháp giải

Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\).

+ Độ dài bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) trên (E) là: \(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x;M{F_2} = a - \frac{c}{a}x\).

\(M{F_1}\) có giá trị nhỏ nhất là \(a - c\) khi \(x =  - a\) và có giá trị lớn nhất là \(a + c\) khi \(x = a\).

\(M{F_2}\) có giá trị nhỏ nhất là \(a - c\) khi \(x = a\) và có giá trị lớn nhất là \(a + c\) khi \(x =  - a\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) có \(a = 3,b = 2 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt 5 \).

Độ dài bán kính qua tiêu \(M{F_2} = a - \frac{c}{a}x = 3 - \frac{{\sqrt 5 }}{3}x\).

Vì \(M{F_2}\) có độ dài nhỏ nhất là \(a - c\) khi \(x = a\) nên:

\(M{F_2}\) có độ dài nhỏ nhất là \(3 - \sqrt 5 \) khi \(x = 3\).

Mà \(M \in (E)\) \( \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1 \Rightarrow {y^2} = 4\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{9}} \right) = 4\left( {1 - \frac{{{3^2}}}{9}} \right) = 0\).

Vậy \(M\left( {3;0} \right)\) thì \(M{F_2}\) có độ dài nhỏ nhất bằng \(3 - \sqrt 5 \).