Đề bài

a) Nêu nhận xét về vị trí bốn đỉnh của elip \(\left( E \right)\) với bốn cạnh của hình chữ nhật cơ sở.

b) Cho điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc elip \(\left( E \right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của x và của y.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), ta xét Elip \(\left( E \right)\) có phương trình chính tắc là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), trong đó \(a > b > 0\). Khi đó ta có:

+ Hình chữ nhật cơ sở có bốn đỉnh là \(P\left( { - a;b} \right),Q\left( {a;b} \right),R\left( {a; - b} \right),S\left( { - a; - b} \right)\).

+ Bốn đỉnh của elip là trung điểm của các cạnh của hình chữ nhật cơ sở.

b) Nếu điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc elip \(\left( E \right)\) thì \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

\( \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} \le 1,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} \le 1 \Leftrightarrow {x^2} \le {a^2},{y^2} \le {b^2}\)

\( \Leftrightarrow  - a \le x \le a, - b \le y \le b\).

Dó đó mọi điểm của elip nếu không phải đỉnh thì đều nằm trong hình chữ nhật.

Khi đó giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của x là a và -a, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y là b và -b.