Đề bài

Quan sát elip \(\left( E \right)\) phương trình chính tắc là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > b > 0\) và hình chữ nhật cơ sở PQRS của \(\left( E \right)\) (Hình 5).

 

a) Tính tỉ số giữa hai cạnh \(\frac{{QR}}{{PQ}}\) của hình chữ nhật \(PQRS\).

b) Tỉ số \(\frac{{QR}}{{PQ}}\) phản ánh đặc điểm gì của \(\left( E \right)\) về hình dạng?

Phương pháp giải

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), ta xét Elip \(\left( E \right)\) có phương trình chính tắc là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), trong đó \(a > b > 0\). Khi đó ta có hình chữ nhật cơ sở có bốn đỉnh là \(P\left( { - a;b} \right),Q\left( {a;b} \right),R\left( {a; - b} \right),S\left( { - a; - b} \right)\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Ta có hình chữ nhật cơ sở có bốn đỉnh là \(P\left( { - a;b} \right),Q\left( {a;b} \right),R\left( {a; - b} \right),S\left( { - a; - b} \right)\).

Suy ra \(QR = 2b,PQ = 2a \Rightarrow \frac{{QR}}{{PQ}} = \frac{{2b}}{{2a}} = \frac{b}{a}\).

b) Ta có \(\frac{{QR}}{{PQ}} = \frac{b}{a}\), vì \(0 < b < a\) nên \(0 < \frac{b}{a} < 1\). Tỉ số \(\frac{b}{a}\) phản ánh cụ thể hình dạng của \(\left( E \right)\) như sau:

+ Nếu tỉ số \(\frac{b}{a}\) càng bé thì hình chữ nhật cơ sở càng “dẹt”, do đó \(\left( E \right)\) càng “gầy”.

+ Nếu tỉ số \(\frac{b}{a}\) càng lớn thì b càng gần a và hình chữ nhật cơ sở càng gần với hình vuông, do đó \(\left( E \right)\) càng “béo”.