Đề bài

Cho \({S_n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^n}}}\) và \({T_n} = 2 - \frac{1}{{{2^n}}}\), với \(n \in \mathbb{N}*\).

a) So sánh \({S_1}\) và \({T_1}\); \({S_2}\) và \({T_2}\); \({S_3}\) và \({T_3}\).

b) Dự đoán công thức tính \({S_n}\) và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Phương pháp giải

Phương pháp quy nạp: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\).

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\).

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\). Kết luận.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) \({S_1} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\); \({T_1} = 2 - \frac{1}{{{2^1}}} = \frac{3}{2}\).

Do đó \({S_1} = {T_1}\).

\({S_2} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} = \frac{7}{4}\); \({T_2} = 2 - \frac{1}{{{2^2}}} = \frac{7}{4}\).

Do đó \({S_2} = {T_2}\).

\({S_3} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} = \frac{{15}}{8}\); \({T_3} = 2 - \frac{1}{{{2^3}}} = \frac{{15}}{8}\).

Do đó \({S_3} = {T_3}\).

b) Dự doán: \({S_n} = {T_n}\) từ đó có công thức tính \({S_n} = 2 - \frac{1}{{{2^n}}}\).

Chứng minh:

Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({S_1} = 2 - \frac{1}{{{2^1}}}\) đúng.

Như vậy đẳng thức đúng với \(n = 1\).

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k + 1, tức là:

\({S_{k + 1}} = 2 - \frac{1}{{{2^{k + 1}}}}\).

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

\({S_k} = 2 - \frac{1}{{{2^k}}}\).

Suy ra

\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{k + 1}}}} = {S_k} + \frac{1}{{{2^{k + 1}}}}\\ = 2 - \frac{1}{{{2^k}}} + \frac{1}{{{2^{k + 1}}}} = 2 - \frac{2}{{{2^{k + 1}}}} + \frac{1}{{{2^{k + 1}}}} = 2 - \frac{1}{{{2^{k + 1}}}}\end{array}\)

Vậy đẳng thức đúng với k + 1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).