Đề bài

Xét mệnh đề chứa biến P(n): “\(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = {n^2}\)” với n là số nguyên dương.

a) Chứng tỏ rằng P(1) là mệnh đề đúng.

b) Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, cho biết \(1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1)\) bằng bao nhiêu.

c) Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, chứng tỏ rằng P(k+1) cũng là mệnh đề đúng bằng cách chỉ ra \({k^2} + [2(k + 1) - 1] = {(k + 1)^2}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Mệnh đề P(1) là: “\(1 = {1^2}\)”, rõ ràng mệnh đề này đúng.

b) Mệnh đề P(k) là: “\(1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = {k^2}\)”.

Mệnh đề P(k) đúng thì \(1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1)\) bằng \({k^2}\).

c) Mệnh đề P(k+1) là: “\(1 + 3 + 5 + ... + [2(k + 1) - 1] = {(k + 1)^2}\)”.

Mệnh đề P(k) đúng nên ta có \(1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = {k^2}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 1 + 3 + 5 + ... + [2(k + 1) - 1] = 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + [2(k + 1) - 1]\\ = {k^2} + [2(k + 1) - 1] = {k^2} + 2k + 1 = {(k + 1)^2}\end{array}\)

Vậy mệnh đề P(k+1) cũng đúng.