Đề bài

Cho hypebol có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với các tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0),\)ở đây \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \) (H.3.6). Xét các đường thẳng \({\Delta _1}:x =  - \frac{{{a^2}}}{c}\) và \({\Delta _2}:x = \frac{{{a^2}}}{c}\).

Với điểm M (x; y) thuộc hypebol, tính các tỉ số \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}}\) và \(\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}}\) theo a và c.

Phương pháp giải

\(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x;M{F_2} = a - \frac{c}{a}x\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có:

\(M{F_1} = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right|;\;\;M{F_2} = \left| {a - \frac{c}{a}x} \right|\).

\(d(M,{\Delta _1}) = \left| {x - \left( { - \frac{{{a^2}}}{c}} \right)} \right| = \left| {x + \frac{{{a^2}}}{c}} \right|\); \(d(M,{\Delta _2}) = \left| {x - \frac{{{a^2}}}{c}} \right|\)

\( \Rightarrow \frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \left| {\frac{{{a^2} + cx}}{a}} \right|:\left| {\frac{{{a^2} + cx}}{c}} \right| = \left| {\frac{c}{a}} \right| = \frac{c}{a}\);

\(\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = \left| {\frac{{{a^2} - cx}}{a}} \right|:\left| {\frac{{{a^2} - cx}}{c}} \right| = \left| {\frac{c}{a}} \right| = \frac{c}{a}\).

Vậy \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = \frac{c}{a}\).