Đề bài

Một sao chổi đi qua hệ Mặt Trời theo quỹ đạo là một nhánh hypebol nhận tâm Mặt trời là một tiêu điểm, khoảng cách gần nhất từ sao chổi này đến tâm Mặt trời là \({3.10^8}\) km và tâm sai của quỹ đạo hypebol là 3,6 (H.3.15). Hãy lập phương trình chính tắc của hypebol chứa quỹ đạo, với 1 đơn vị đo trên mặt phẳng tọa độ ứng với \({10^8}\) km trên thực tế.

Phương pháp giải

Cho PTCT: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), \({F_2}(c;0)\) là một tiêu điểm.

Điểm M bất kì thuộc hypebol, khi đó:

\(M{F_2}\) nhỏ nhất bằng \(c - a = 1\) khi M trùng đỉnh \({A_2}(a;0)\).

+ Tâm sai của hypebol: \(e = \frac{c}{a}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\({3.10^8}\) km = 3 đơn vị.

Gọi PTCT của quỹ đạo hình hypebol đó là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

Giả sử Mặt trời là tiêu điểm \({F_2}( - c;0)\).

Điểm M bất kì thuộc hypebol là vị trí của sao chổi trong quỹ đạo, khi đó:

\(M{F_2}\) nhỏ nhất bằng \(c - a = 3\) khi M trùng đỉnh \({A_2}(a;0)\).

Tâm sai của hypebol là: \(e = \frac{c}{a} = 3,6 \Rightarrow c = 3,6a\).

\( \Rightarrow 2,6a = 3 \Leftrightarrow a = \frac{{15}}{{13}},\;c = \frac{{54}}{{13}} \Rightarrow {b^2} = \frac{{207}}{{13}}\).

\( \Rightarrow \)PTCT của hypebol là: \(\frac{{169{x^2}}}{{225}} - \frac{{13{y^2}}}{{207}} = 1\).