Với thông tin đưa ra trong tình huống mở đầu, lập phương trình chính tắc của elip quỹ đạo của Trái Đất, với 1 đơn vị đo trên mặt phẳng tọa độ ứng với \({10^6}km\) trên thực tế.
Coi tâm mặt trời là gốc tọa độ trong PTCT \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
Với M bất kì thuộc Elip, ta luôn có: \(b \le OM \le a\)
\(\begin{array}{l}OM = b \Leftrightarrow M \equiv {B_1}\left( {0; - b} \right);{B_2}\left( {0;b} \right).\\OM = a \Leftrightarrow M \equiv {A_1}\left( { - a;0} \right);{A_2}\left( {a;0} \right).\end{array}\)
Coi tâm mặt trời là gốc tọa độ O.
Gọi PTCT của elip quỹ đạo của Trái Đất là (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
M là vị trí của Trái Đất, rõ ràng \(M \in (E)\).
Vì \(b \le OM \le a\) nên \(a = {152.10^6};b = {147.10^6}\).
\( \Rightarrow \) Phương trình chính tắc của elip quỹ đạo của Trái Đất là (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{{23104.10}^{12}}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{21609.10}^{12}}}} = 1\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
(Phép co đường tròn) Cho đường tròn có phương trình \({x^2} + {y^2} = {a^2}\) và số k \((0 < k < 1)\). Với mỗi điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc đường tròn, gọi \(H({x_0};0)\) là hình chiếu vuông góc của M lên trục Ox và N là điểm thuộc đoạn MH sao cho \(HN = kHM\) (H.3.5)
a) Tính tọa độ của N theo \({x_0};{y_0};k\).
b) Chứng minh rằng khi điểm M thay đổi trên đường tròn thì N thay đổi trên Elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{(ka)}^2}}} = 1\).
Bài 2 :
Viết phương trình chính tắc của elip với độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6.
Bài 3 :
Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (H.3.1)
a) Tìm tọa độ các giao điểm của elip với các trục tọa độ.
b) Hãy giải thích vì sao, nếu điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc elip thì các điểm có tọa độ \(({x_0}; - {y_0}),( - {x_0};{y_0}),( - {x_0}; - {y_0})\) cũng thuộc Elip.
c) Với điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc elip, hãy so sánh \(O{M^2}\) với \({a^2},{b^2}\).
Bài 4 :
Mặt trăng chuyển động theo một quỹ đạo hình elip nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Các khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ các vị trí của Mặt Trăng đến tâm Trái Đất tương ứng là 400 000 km và 363 000 km (theo nssdc.gsfc.nasa.gov). Tìm tâm sai của quỹ đạo elip.
Bài 5 :
Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\). Tìm tâm sai và các đường chuẩn của elip. Tính các bán kính qua tiêu của điểm M thuộc elip và có hoành độ bằng -2.
Bài 6 :
Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với các tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0),\)ở đây \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \) (H.3.6). Xét các đường thẳng \({\Delta _1}:x = - \frac{{{a^2}}}{c}\) và \({\Delta _2}:x = \frac{{{a^2}}}{c}\).
Với điểm M (x; y) thuộc elip, tính các tỉ số \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}}\) và \(\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}}\) theo a và c.
Bài 7 :
Cho elip \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\), điểm M thay đổi trên elip. Hỏi khoảng cách từ M tới một tiêu điểm của elip lớn nhất bằng bao nhiêu, nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
Bài 8 :
Cho Elip có hai tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\) và độ dài trục lớn bằng 2a và điểm \(M(x;y)\).
a) Tính \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2\).
b) Khi điểm M thuộc Elip (\(M{F_1} + M{F_2} = 2a\)), tính \(M{F_1} - M{F_2},M{F_1},M{F_2}\).
Bài 9 :
Cho elip \(\frac{{{x^2}}}{{12}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).
a) Xác định các đỉnh và độ dài các trục của elip.
b) Xác định tâm sai và các đường chuẩn của elip.
c) Tính bán kính qua tiêu của điểm M thuộc elip, biết điểm M có hoành độ bằng -3.
Bài 10 :
Viết phương trình chính tắc của elip trong mỗi trường hợp sau:
a) Độ dài trục lớn bằng 8, tiêu cự bằng 6.
b) Độ dài trục lớn bằng 8 và tâm sai bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Bài 11 :
Cho elip \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\).
a) Qua tiêu điểm của elip vẽ đường thẳng vuông góc với trục Ox, cắt elip tại hai điểm A và B. Tính độ dài của đoạn thẳng AB.
b) Tìm điểm M trên elip sao cho \(M{F_1} = 2M{F_2}\) với \({F_1}\) and \({F_2}\) là hai tiêu điểm của elip (độ hoàn thành của \( {F_1}\) âm).
Bài 12 :
Đường tròn phụ của hình elip là đường tròn có đường kính là trục nhỏ của elip (H.3.8). Do đó, đường tròn phụ là đường tròn lớn nhất có thể nằm bên trong một hình elip. Tìm phương trình đường tròn phụ của elip \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) và chứng minh rằng, nếu điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc elip thì điểm \(N(\frac{b}{a}{x_0};{y_0})\) thuộc đường tròn phụ.
Bài 13 :
Với tâm sai khoảng 0,244, quỹ đạo elip của sao Diêm Vương “dẹt” hơn so với quỹ đạo của tám hành tinh trong hệ mặt trời (xem Em có biết? ở cuối bài). Nửa độ dài trục lớn của elip quỹ đạo là khoảng \(590\;{635.10^6}\)km. Tìm khoảng cách gần nhất và khoảng cách xa nhất giữa sao diêm vương và tâm mặt trời (tiêu điểm của quỹ đạo) (theo nssdc.gsfc.nasa.gov).
Bài 14 :
Một phòng thì thầm có trần vòm elip với hai tiêu điểm ở độ cao 1,6m (so với mặt sàn) và cách nhau 16m. Đỉnh của mái vòm cao 7,6 m (H.3.9). Hỏi âm thanh thì thầm từ một tiêu điểm thì sau bao nhiêu giây đến được tiêu điểm kia? Biết vận tốc âm thanh là 343,2 m/s và làm tròn đáp số tới 4 chữ số sau dấu phẩy.
Bài 15 :
Viết phương trình đường conic biết tâm sai bằng \(e = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\), một tiêu điểm \(F( - 1;0)\) và đường chuẩn tương ứng \(\Delta :x + y + 1 = 0\).
Bài 16 :
Cho elip có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M(2;1)\) và cắt elip tại hai điểm A, B sao cho \(MA = MB\).
Bài 17 :
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), ta xét Elip \(\left( E \right)\) có phương trình chính tắc là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), trong đó \(a > b > 0\).
Cho điểm \(M\left( {x;y} \right)\) nẳm trên \(\left( E \right)\) (Hình 3).
a) Gọi \({M_1}\) là điểm đối xứng của M qua trục Ox. Tìm tọa độ của điểm \({M_1}\). Điểm \({M_1}\) có nằm trên \(\left( E \right)\) hay không? Tại sao?
b) Gọi \({M_2}\) là điểm đối xứng của M qua trục Oy. Tìm tọa độ của điểm \({M_2}\). Điểm \({M_2}\) có nằm trên \(\left( E \right)\) hay không? Tại sao?
c) Gọi \({M_3}\) là điểm đối xứng của M qua gốc O. Tìm tọa độ của điểm \({M_3}\). Điểm \({M_3}\) có nằm trên \(\left( E \right)\) hay không? Tại sao?
Bài 18 :
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), ta xét Elip \(\left( E \right)\) có phương trình chính tắc là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), trong đó \(a > b > 0\) (Hình 2).
a) Tìm tọa độ của hai tiêu điểm \({F_1},{F_2}\) của \(\left( E \right)\).
b) \(\left( E \right)\) cắt trục \(Ox\) tịa các điểm \({A_1},{A_2}\) và cắt trục \(Oy\) tịa các điểm \({B_1},{B_2}\). Tìm độ dài các đoạn thẳng \(O{A_2},O{B_2}\).
Bài 19 :
Quan sát elip \(\left( E \right)\) phương trình chính tắc là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > b > 0\) và hình chữ nhật cơ sở PQRS của \(\left( E \right)\) (Hình 5).
a) Tính tỉ số giữa hai cạnh \(\frac{{QR}}{{PQ}}\) của hình chữ nhật \(PQRS\).
b) Tỉ số \(\frac{{QR}}{{PQ}}\) phản ánh đặc điểm gì của \(\left( E \right)\) về hình dạng?
Bài 20 :
Viết phương trình chính tắc của elip, biết \({A_1}\left( { - 4;0} \right),{B_2}\left( {0;2} \right)\) là hai đỉnh của nó.
Bài 21 :
a) Nêu nhận xét về vị trí bốn đỉnh của elip \(\left( E \right)\) với bốn cạnh của hình chữ nhật cơ sở.
b) Cho điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc elip \(\left( E \right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của x và của y.
Bài 22 :
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) với tiêu điểm \({F_2}\left( {\sqrt 5 ;0} \right)\). Tìm tọa độ \(M \in \left( E \right)\) sao cho độ dài \({F_2}M\) nhỏ nhất.
Bài 23 :
Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Giả sử \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm thuộc elip. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của bán kính qua tiêu \(M{F_1}\) và \(M{F_2}\).
Bài 24 :
Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Giả sử M là điểm thuộc elip và có hoành độ là 2. Tìm độ dài của các bán kính qua tiêu của điểm M.
Bài 25 :
Sử dụng đẳng thức c) ở trên và đẳng thức \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\), chứng minh:
a) \(M{F_1} - M{F_2} = \frac{{2c}}{a}x\).
b) \(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x\).
c) \(M{F_2} = a - \frac{c}{a}x\).
Bài 26 :
Giả sử đường elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\), ở đó \({F_1}{F_2} = 2c\) với \(0 < c < a\). Ta chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) có gốc là trung điểm của đoạn thẳng \({F_1}{F_2}\). Trục \(Oy\) là đường trung trực của \({F_1}{F_2}\) và \({F_2}\) nằm trên tia \(Ox\) (Hình 8). Khi đó \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\) là các tiêu diểm của elip (E).
Giả sử điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc elip (E).
Chứng minh rằng:
a) \(M{F_1}^2 = {x^2} + 2cx + {c^2} + {y^2}\).
b) \(M{F_2}^2 = {x^2} - 2cx + {c^2} + {y^2}\).
c) \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2 = 4cx\).
Bài 27 :
Viết phương trình chính tắc của elip, biết tiêu điểm \({F_2}(5;0)\) và đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó là \(x = \frac{{36}}{5}\).
Bài 28 :
Cho elip (E) \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\).
Xét đường thẳng \({\Delta _1}:x = - \frac{a}{e}\) với mỗi điểm \(M\left( {x;y} \right) \in \left( E \right)\) (Hình 9), tính:
a) Khoảng cách \(d\left( {M,{\Delta _1}} \right)\) từ điểm \(M\left( {x;y} \right)\) đến đường thẳng \({\Delta _1}\).
b) Tỉ số \(\frac{{M{F_1}}}{{d\left( {M,{\Delta _1}} \right)}}\).
Bài 29 :
Cho elip (E) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\).
Xét đường tròn (C) tâm O bán kính a có phương trình \({x^2} + {y^2} = {a^2}\).
Cét điểm \(M\left( {x;y} \right) \in \left( E \right)\) và \({M_1}\left( {x;{y_1}} \right) \in \left( C \right)\) sao cho \(y\) và \({y_1}\) luôn cùng dấu (Khi M khác với hai đỉnh \({A_1},{A_2}\) của (E)) (Hình 10).
a) Từ phương trình chính tắc của elip (E), hãy tính \({y^2}\) theo \({x^2}\).
Từ phương trình của đường tròn (C), hãy tính \({y_1}^2\) theo \({x^2}\).
b) Tính tỉ số \(\frac{{HM}}{{H{M_1}}} = \frac{y}{{{y_1}}}\) theo \(a,b\).
Bài 30 :
Vẽ elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Danh sách bình luận