Đề bài

Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với các tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0),\)ở đây \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \) (H.3.6). Xét các đường thẳng \({\Delta _1}:x =  - \frac{{{a^2}}}{c}\) và \({\Delta _2}:x = \frac{{{a^2}}}{c}\).

Với điểm M (x; y) thuộc elip, tính các tỉ số \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}}\) và \(\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}}\) theo a và c.

Phương pháp giải

\(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x;M{F_2} = a - \frac{c}{a}x\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x = \frac{{{a^2} + cx}}{a};\;\;M{F_2} = a - \frac{c}{a}x = \frac{{{a^2} - cx}}{a}\).

\(d(M,{\Delta _1}) = \frac{{{a^2}}}{c} + x = \frac{{{a^2} + cx}}{c}\).

\(d(M,{\Delta _2}) = \frac{{{a^2}}}{c} - x = \frac{{{a^2} - cx}}{c}\).

\( \Rightarrow \frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{{a^2} + cx}}{a}:\frac{{{a^2} + cx}}{c} = \frac{c}{a}\) ; \(\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = \frac{{{a^2} - cx}}{a}:\frac{{{a^2} - cx}}{c} = \frac{c}{a}\)

Vậy \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = \frac{c}{a}\).