Đề bài

Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (H.3.1)

a) Tìm tọa độ các giao điểm của elip với các trục tọa độ.

b) Hãy giải thích vì sao, nếu điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc elip thì các điểm có tọa độ \(({x_0}; - {y_0}),( - {x_0};{y_0}),( - {x_0}; - {y_0})\) cũng thuộc Elip.

c) Với điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc elip, hãy so sánh \(O{M^2}\) với \({a^2},{b^2}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a)

\(y = 0 \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} = 1 \Rightarrow x =  \pm a\)

Giao điểm của elip với Ox là \({A_1}\left( { - a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right).\)

\(x = 0 \Rightarrow \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow y =  \pm b\)

Giao điểm của elip với Oy là \({B_1}\left( {0; - b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right).\)

b) Nếu điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc elip thì \(\frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1\)

\( \Rightarrow \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} + \frac{{{{( - {y_0})}^2}}}{{{b^2}}} = 1;\frac{{{{( - {x_0})}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1;\frac{{{{( - {x_0})}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{( - {y_0})}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

hay các điểm có tọa độ \(({x_0}; - {y_0}),( - {x_0};{y_0}),( - {x_0}; - {y_0})\) cũng thuộc Elip.

c) Từ H.3.1 dễ thấy \(a > b\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{a^2}}} \le \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} \le \frac{{{x_0}^2}}{{{b^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}}\\ \Leftrightarrow \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{a^2}}} \le 1 \le \frac{{{x_0}^2}}{{{b^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}}\\ \Leftrightarrow {b^2} \le {x_0}^2 + {y_0}^2 \le {a^2}\\ \Leftrightarrow {b^2} \le O{M^2} \le {a^2}\end{array}\)