Đề bài

(Phép co đường tròn) Cho đường tròn có phương trình \({x^2} + {y^2} = {a^2}\) và số k \((0 < k < 1)\). Với mỗi điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc đường tròn, gọi \(H({x_0};0)\) là hình chiếu vuông góc của M lên trục Ox và N là điểm thuộc đoạn MH sao cho \(HN = kHM\) (H.3.5)

a) Tính tọa độ của N theo \({x_0};{y_0};k\).

b) Chứng minh rằng khi điểm M thay đổi trên đường tròn thì N thay đổi trên Elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{(ka)}^2}}} = 1\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi \(N({x_N};{y_N})\).

N thuộc đoạn MH và \(HN = kHM \Rightarrow \overrightarrow {HN}  = k\overrightarrow {HM} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow ({x_N} - {x_0};{y_N}) = k(0;{y_0})\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} - {x_0} = k.0\\{y_N} = k.{y_0}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = {x_0}\\{y_N} = k.{y_0}\end{array} \right.\end{array}\)

Vì \(M({x_0};{y_0})\) thuộc (C) \({x^2} + {y^2} = {a^2}\) nên

\({x_0}^2 + {y_0}^2 = {a^2} \Leftrightarrow {x_N}^2 + {\left( {\frac{{{y_N}}}{k}} \right)^2} = {a^2} \Leftrightarrow \frac{{{x_N}^2}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_N}^2}}{{{{(ka)}^2}}} = 1\)

Vậy N thuộc Elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{(ka)}^2}}} = 1\).