Đề bài

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\), ta có \({5^n} \ge {3^n} + {4^n}\).

Phương pháp giải

Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\).

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\). Kết luận.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Với \(n = 2\) ta có \({5^2} = {3^2} + {4^2}\).

Vậy BĐT đúng với \(n = 2\).

Giải sử BĐT đúng với \(n = k\) tức là ta có \({5^k} \ge {3^k} + {4^k}\).

Ta chứng minh BĐT đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({5^{k + 1}} \ge {3^{k + 1}} + {4^{k + 1}}\).

Thật vậy, ta có:

\({3^{k + 1}} + {4^{k + 1}} = {3.3^k} + {4.4^k} \le 4.\left( {{3^k} + {4^k}} \right) \le {4.5^k} \le {5.5^k} = {5^{k + 1}}\)

Vậy BĐT đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\).