Đề bài

a) Viết khai triển nhị thức Newton của \({(1 + x)^n}\).

b) Cho \(x = 1\) trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này với lưu ý rằng \(C_n^k(0 \le k \le n)\) chính là số tập con gồm k phần tử của một tập hợp có n phần tử.

c) Tương tự, cho \(x =  - 1\) trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) \({(1 + x)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}\).

b) Thay \(x = 1\) trong khai triển ở câu a), ta được:

\({2^n} = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n\).

Với \(C_n^k(0 \le k \le n)\) chính là số tập con gồm k phần tử của một tập hợp có n phần tử, thì vế phải là tổng số tập con của tập hợp có n phần tử.

=> Số tập con của tập có n phần tử là: \({2^n}\).

c) Thay \(x =  - 1\) trong khai triển ở câu a), ta được:

\(\begin{array}{l}0 = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 + ... + {( - 1)^n}C_n^n{x^n}\\ \Leftrightarrow C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + ... = C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + ...\end{array}\)

Ý nghĩa: Tập hợp có n phần tử có số tập con có chẵn phần tử = số tập con có lẻ phần tử.