Đề bài

Hãy chứng minh các công thức trên bằng cách sử dụng công thức tính số các tổ hợp:

Phương pháp giải

Công thức: \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\); \(n! = n(n - 1)!\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Tính chất đối xứng:

\(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\)

\( = \frac{{n!}}{{(n - n + k)!(n - k)!}}\)

\( = \frac{{n!}}{{{\rm{[}}n - (n - k){\rm{]}}!(n - k)!}}\)

\( = \frac{{n!}}{{(n - k)!{\rm{[}}n - (n - k){\rm{]}}!}} = C_n^{n - k}\).

Hệ thức Pascal:

\(C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k\)

\( = \frac{{(n - 1)!}}{{(k - 1)!{\rm{[}}(n - 1) - (k - 1){\rm{]}}!}} + \frac{{(n - 1)!}}{{k!(n - 1 - k)!}}\)

\( = \frac{{(n - 1)!}}{{(k - 1)!(n - k)!}} + \frac{{(n - 1)!}}{{k!(n - 1 - k)!}}\)

\( = \frac{{(n - 1)!}}{{(k - 1)!(n - k)(n - k - 1)!}} + \frac{{(n - 1)!}}{{k(k - 1)!(n - 1 - k)!}}\)

\( = \frac{{(n - 1)!}}{{(k - 1)!(n - k - 1)!}}\left( {\frac{1}{{n - k}} + \frac{1}{k}} \right)\)

\( = \frac{{(n - 1)!}}{{(k - 1)!(n - k - 1)!}}.\frac{n}{{(n - k).k}}\)

\( = \frac{{(n - 1)!}}{{(k - 1)!(n - k - 1)!}}.\frac{n}{{(n - k).k}}\)

\( = \frac{{n(n - 1)!}}{{k(k - 1)!(n - k)(n - k - 1)!}}\)

\( = \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}} = C_n^k\).