Đề bài

Chứng minh rằng \({n^2} - n + 41\) là số lẻ với mọi số nguyên dương n.

Phương pháp giải

Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\).

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\). Kết luận.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Cách 1:

Với \(n = 1\) ta có \({1^2} - 1 + 41 = 41\) là số lẻ.

Với \(n \ge 2\) ta có \({n^2} - n + 41 = n(n - 1) + 41\) không chia hết cho 2 (do \(n(n - 1)\) tích hai số tự nhiên liên tiếp, luôn chia hết cho 2. Còn 41 không chia hết cho 2).

Nói cách khác với \(n \ge 2\) thì  \({n^2} - n + 41\) là số lẻ.

Vậy \({n^2} - n + 41\) là số lẻ với mọi số nguyên dương n.

Cách 2:

Ta chứng minh (4) bằng phương pháp quy nạp.

Với \(n = 1\) ta có \({1^2} - 1 + 41 = 41\) là số lẻ.

Vậy (4) đúng với \(n = 1\).

Giải sử (4) đúng với \(n = k\) tức là ta có \({k^2} - k + 41\) là số lẻ.

Ta chứng minh (3) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh  \({(k + 1)^2} - (k + 1) + 41\) là số lẻ.

Thật vậy, ta có:

\(\begin{array}{l}{(k + 1)^2} - (k + 1) + 41 = {k^2} + 2k + 1 - k - 1 + 41\\ = {k^2} + k + 41 = \left( {{k^2} - k + 41} \right) + 2k\end{array}\)

Là số lẻ vì \({k^2} - k + 41\) lẻ và \(2k\) chẵn.

Vậy (4) đúng với mọi số nguyên dương n.