Đề bài

Mỗi khẳng định sau là đúng hay sai? Nếu em nghĩ là đúng, hãy chứng minh nó. Nếu em nghĩ nó sai, hãy đưa ra một phản ví dụ.

a) \(p(n) = {n^2} - n + 11\) là số nguyên tố với mọi số tự nhiên n.

b) \({n^2} > n\) với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\).

Phương pháp giải

Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\).

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\). Kết luận.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Khẳng định \(p(n) = {n^2} - n + 11\) là số nguyên tố với mọi số tự nhiên n là một khẳng định sai. Thật vậy, với \(n = 11\) ta có \(p(11) = {11^2}\) là hợp số (vì nó chia hết cho 11).

b)

Cách 1:

Xét \(T = {n^2} - n\), ta chứng minh \(T > 0\forall n \ge 2\).

Vì \(n \ge 2\) nên \(n - 1 \ge 1\). Do đó \(T = n(n - 1) \ge 2 > 0\).

Vậy \({n^2} > n\) với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\).

Cách 2:

Ta chứng minh b) bằng phương pháp quy nạp.

Với \(n = 2\) ta có \({2^2} > 2\).

Vậy b) đúng với \(n = 2\).

Giải sử b) đúng với \(n = k\) tức là ta có \({k^2} > k\).

Ta chứng minh b) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh  \({(k + 1)^2} > k + 1\).

Thật vậy, ta có:

\({(k + 1)^2} = {k^2} + 2k + 1 > {k^2} + 1 > k + 1\) (do \(k \ge 2\) và \({k^2} > k\) (theo giả thiết quy nạp).

Vậy b) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\).