Đề bài

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) ta có:

\(1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}\).

Phương pháp giải

Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\).

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\). Kết luận.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(1 = \frac{{1(1 + 1)}}{2}\).

Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 1\).

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), tức là ta có:

\(1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{{k(k + 1)}}{2}\).

Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là ta sẽ chứng minh.

\(1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\).

Thật vậy ta có:

\(\begin{array}{l}1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{{k(k + 1)}}{2} + (k + 1)\\ = \frac{{k(k + 1) + 2(k + 1)}}{2} = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\end{array}\)

Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\).