Đề bài

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\) ta có đẳng thức:

\({a^n} - {b^n} = (a - b)({a^{n - 1}} + {a^{n - 2}}b + ... + a{b^{n - 2}} + {b^{n - 1}})\).

Phương pháp giải

Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\).

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\). Kết luận.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với \(n = 2\) ta có \({a^2} - {b^2} = (a - b)(a + b)\).

Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 2\).

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), tức là ta có:

\({a^k} - {b^k} = (a - b)({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}})\).

Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là ta sẽ chứng minh:

\({a^{k + 1}} - {b^{k + 1}} = (a - b)({a^k} + {a^{k - 1}}b + ... + a{b^{k - 1}} + {b^k})\).

Thật vậy ta có:

\(\begin{array}{l}{a^{k + 1}} - {b^{k + 1}} = {a^{k + 1}} - {a^k}b + {a^k}b - {b^{k + 1}} = {a^k}(a - b) + b({a^k} - {b^k})\\ = {a^k}(a - b) + b(a - b)({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}})\\ = (a - b)[{a^k} + b({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}})]\\ = (a - b)({a^k} + {a^{k - 1}}b + {a^{k - 2}}{b^2} + ... + a{b^{k - 1}} + {b^k})\end{array}\)

Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\).