Giải các hệ phương trình sau:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 3z = 3\\x + y + 3z = 2\\3x - 2y + z = - 1\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}4x + y + 3z = - 3\\2x + y - z = 1\\5x + 2y = 1\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2z = - 2\\2x + y - z = 1\\4x + y + 3z = - 3\end{array} \right.\)
a) Đổi chỗ phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 3z = 2\\2x + y - 3z = 3\\3x - 2y + z = - 1\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -2 rồi cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình thứ hai).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 3z = 2\\ - y - 9z = - 1\\3x - 2y + z = - 1\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -3 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 3z = 2\\ - y - 9z= - 1\\ - 5y - 8z = - 7\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ hai với -5 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử y ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 3z = 2\\\quad - y - 9z= - 1\\ 37z = - 2\end{array} \right.\)
Từ phương trình thứ ba ta có \(z = \frac{{ - 2}}{{37}}\).
Thế vào phương trình thứ hai ta được \( - y - 9.\frac{{ - 2}}{{37}} = - 1\) hay \(y = \frac{{55}}{{37}}\).
Cuối cùng ta có: \(x + \frac{{55}}{{37}} + 3.\frac{{ - 2}}{{37}} = 2\) hay \(x = \frac{{25}}{{37}}\).
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right) = \left( {\frac{{25}}{{37}};\frac{{55}}{{37}};\frac{{ - 2}}{{37}}} \right).\)
b) Đổi chỗ ẩn x và ẩn y ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}y + 4x + 3z = - 3\\y + 2x - z = 1\\2y + 5x = 1\end{array} \right.\)
Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử y ở phương trình thứ hai).
\(\left\{ \begin{array}{l}y + 4x + 3z = - 3\\ - 2x - 4z = 4\\2y + 5x = 1\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -2 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử y ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}y + 4x + 3z = - 3\\ - 2x - 4z = 4\\ - 3x - 6z = 7\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}y + 4x + 3z = - 3\\x + 2z = - 2\\x + 2z = \frac{{ - 7}}{3}\end{array} \right.\)
Từ hai phương trình cuối, suy ra \( - 2 = - \frac{7}{3}\), điều này vô lí.
Vậy hệ ban đầu vô nghiệm.
Cách 2:
Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 3 rồi cộng với phương trình thứ nhất theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử z ở phương trình thứ hai).
\(\left\{ \begin{array}{l}4x + y + 3z = - 3\\10x + 4y = 0\\5x + 2y = 1\end{array} \right.\)
Chia hai vế của phương trình thứ hai cho 2 ta được hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}4x + y + 3z = - 3\\5x + 2y = 0\\5x + 2y = 1\end{array} \right.\)
Từ hai phương trình cuối, suy ra 0 = 1, điều này vô lí.
Vậy hệ ban đầu vô nghiệm.
c)
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2z = - 2\\2x + y - z = 1\\4x + y + 3z = - 3\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -2 rồi cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình thứ hai).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2z = - 2\\y - 5z = 5\\4x + y + 3z = - 3\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -4 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2z = - 2\\y - 5z = 5\\y - 5z = 5\end{array} \right.\)
Nhận thấy phương trình thứ hai và thứ ba của hệ giống nhau. Như vậy, ta được hệ phương trình dạng hình thang
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2z = - 2\\y - 5z = 5\end{array} \right.\)
Rút y theo z từ phương trình thứ hai của hệ ta được: \(y = 5z + 5\).
Rút x theo z từ phương trình thứ nhất của hệ ta được: \(x = - 2z - 2\).
Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là \(S = \{ ( - 2z - 2;5z + 5;z)|z \in \mathbb{R}\} \).
Danh sách bình luận