Đề bài

Cho trước ba số thực a, b, k. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép biến hình g biến điểm M(x; y) thành điểm M’(x’; y’) thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = kx + a\\y' = ky + b\end{array} \right.\). Hãy chứng minh g là một phép đồng dạng.

Phương pháp giải

Phép biến hình f gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) nếu với hai điểm bất kì M, N có ảnh lần lượt là M’, N’ ta có: \(M'N' = k.MN\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Xét hai điểm bất kì \(M({x_1};{\rm{ }}{y_1}),{\rm{ }}N({x_2};{\rm{ }}{y_2})\) có ảnh qua g lần lượt là

Ta có \(\overrightarrow {MN}  = \left( {{x_2} - {x_1};{y_2} - {y_1}} \right)\)

Và \(\overrightarrow {M'N'}  = \left( {k{x_2} + a - k{x_1} - a;k{y_2} + b - k{y_1} - b} \right)\) \( = \left( {k\left( {{x_2} - {x_1}} \right);k\left( {{y_2} - {y_1}} \right)} \right)\)

Do đó \(\overrightarrow {M'N'}  = k\left( {{x_2} - {x_1};{y_2} - {y_1}} \right)\)

Vì vậy \(\overrightarrow {M'N'}  = k\overrightarrow {MN} \)

Suy ra \(M'N'{\rm{ }} = {\rm{ }}\left| k \right|.MN.\)

Vậy g là phép đồng dạng tỉ số \(\left| k \right|\).