Đề bài

Cho tam giác ABC có G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB.

a) Tìm phép vị tự biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’.

b) Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng.

Phương pháp giải

Cho điểm O cố định và một số thực k, \(k \ne 0\). Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {OM'}  = k\overrightarrow {OM} \) được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k, kí hiệu \({V_{(O,k)}}\). O được gọi là tâm vị tự, k gọi là tỉ số vị tự.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Để tìm phép vị tự biến ∆ABC thành ∆A’B’C’, ta tìm phép vị tự biến điểm A thành điểm A’, biến điểm B thành điểm B’, biến điểm C thành điểm C’.

∆ABC có A’ là trung điểm BC và G là trọng tâm.

Theo tính chất trọng tâm của tam giác, ta có \(\overrightarrow {AG}  = 2\overrightarrow {GA'} \)  hay \(\overrightarrow {GA'}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {GA} \)

Suy ra A’ là ảnh của A qua \({V_{\left( {G, - \frac{1}{2}} \right)}}\)

Chứng minh tương tự, ta được \({V_{\left( {G, - \frac{1}{2}} \right)}}\left( B \right) = B'\) và \({V_{\left( {G, - \frac{1}{2}} \right)}}\left( C \right) = C'\)

Vậy \({V_{\left( {G, - \frac{1}{2}} \right)}}\) biến \(\Delta ABC\)  thành

b) Gọi AD là đường kính của đường tròn tâm O ngoại tiếp ∆ABC.

Suy ra \(\widehat {ABD} = 90^\circ \) và O là trung điểm của AD.

Do đó \(\;AB{\rm{ }} \bot {\rm{ }}BD.\)

Mà \(CH \bot AB\)  (do H là trực tâm của ∆ABC).

Vì vậy BD // CH.

Chứng minh tương tự, ta được BH // CD.

Suy ra tứ giác BHCD là hình bình hành.

Mà A’ là trung điểm BC (giả thiết).

Do đó A’ cũng là trung điểm của DH.

∆ADH có A’O là đường trung bình của tam giác nên \(A'O = \frac{1}{2}HA\)  và 

Suy ra \(\overrightarrow {A'O}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {HA}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AH} \)

Ta có \(\overrightarrow {GO}  = \overrightarrow {GA'}  + \overrightarrow {A'O}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {GA}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AH} \) \( =  - \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AH} } \right) =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {GH} \)

Khi đó \(\overrightarrow {GO} \)  và \(\overrightarrow {GH} \)  cùng phương nên ba điểm G, H, O thẳng hàng.

Vậy ba điểm G, H, O thẳng hàng.