Đề bài

Trong Hình 34, cho đoạn thẳng AB. Nêu cách dựng:

a) Đoạn thẳng A₁B₁ là ảnh của đoạn thẳng AB qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec u = \left( {5;\,0} \right)\);

b) Đoạn thẳng A₂B₂ là ảnh của đoạn thẳng A₁B₁ qua phép đối xứng trục Ox;

c) Đoạn thẳng A₃B₃ là ảnh của đoạn thẳng A₂B₂ qua phép quay tâm O với góc quay \(\;\varphi  = --90^\circ ;\)

d) So sánh độ dài các đoạn thẳng \(AB,{\rm{ }}{A_1}{B_1},{\rm{ }}{A_2}{B_2},{\rm{ }}{A_3}{B_3}.\)

Phương pháp giải

Quan sát hình 34 và dựa vào định nghĩa:

Cho vectơ \(\overrightarrow u \), phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \) là phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow u \).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Lấy điểm M, sao cho M(5; 0). Khi đó \(\overrightarrow {OM}  = \left( {5;\,0} \right) = \vec u\).

Lấy các điểm A₁ và B₁ sao cho \(\overrightarrow {A{A_1}}  = \overrightarrow {OM} ,\,\overrightarrow {B{B_1}}  = \overrightarrow {OM} \). Khi đó \(\overrightarrow {{\rm{A}}{{\rm{A}}_1}}  = \overrightarrow {B{B_1}}  = \vec u\) nên A₁, B₁ lần lượt là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec u = \left( {5;\,0} \right)\). Vậy đoạn thẳng A₁B₁ là ảnh của đoạn thẳng AB qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec u = \left( {5;\,0} \right)\).

 

b) Từ A₁, kẻ đường thẳng vuông góc với Ox, trên đường thẳng này lấy A₂ khác phía với A₁ đối với Ox sao cho khoảng cách từ A₁ đến Ox bằng khoảng cách từ A₂ tới Ox. Khi đó Ox là đường trung trực của đoạn thẳng A₁A₂.

Tương tự, dựng B₂ sao cho Ox là đường trung trực của đoạn thẳng B₁B₂.

Khi đó ta có phép đối xứng trục Ox biến các điểm A₁, B₁ tương ứng thành các điểm A₂, B₂. Vậy đoạn thẳng A₂B₂ là ảnh của đoạn thẳng A₁B₁ qua phép đối xứng trục Ox.

 

c) Phép quay với góc quay – 90° có chiều quay cùng chiều kim đồng hồ.

Qua O, vẽ đường thẳng vuông góc với \(O{A_2}\), trên đường thẳng này lấy điểm \({A_3}\) sao cho \(O{A_2}\; = {\rm{ }}O{A_3}\;\) và góc quay từ A₂ đến A₃ theo chiều kim đồng hồ. Khi đó A₃ là ảnh của điểm A₂ qua phép quay tâm O, góc quay – 90°. Tương tự, xác định được điểm B₃ là ảnh của điểm B₂ qua phép quay tâm O, góc quay – 90°. Vậy đoạn thẳng A₃B₃ là ảnh của đoạn thẳng A₂B₂ qua phép quay tâm O với góc quay \(\varphi  = --90^\circ .\)

 

d) Vì phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì nên \(AB{\rm{ }} = {\rm{ }}{A_1}{B_1}.\)

Vì phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì nên \({A_1}{B_1}\; = {\rm{ }}{A_2}{B_2}.\)

Vì phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì nên \({A_2}{B_2}\; = {\rm{ }}{A_3}{B_3}.\)Do đó, \(AB{\rm{ }} = {\rm{ }}{A_1}{B_1}\; = {\rm{ }}{A_2}{B_2}\; = {\rm{ }}{A_3}{B_3}.\)