Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ đường cao AH của \(\Delta ABC\) \(\left( {H \in BC} \right)\). Gọi N là trung điểm của AC. Hai đoạn thẳng BN và AH cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia NG lấy điểm K sao cho GK = GB. Gọi I là giao điểm của KH và CG.
a) Chứng minh \(\Delta ABH = \Delta ACH\).
b) Chứng minh \(CK \bot BC\).
c) Gọi M là trung điểm AB. Chứng minh \(GM < \frac{1}{4}\left( {BC + AG} \right)\).
a) Chứng minh \(\Delta ABH = \Delta ACH\)
Chứng minh \(\Delta AHB = \Delta AHC\) theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông.
b) Chứng minh \(CK \bot BC\)
Chứng minh \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên \(GN = \frac{1}{2}GK\)
suy ra \(N\) là trung điểm của \(GK\)
Chứng minh \(\Delta ANG = \Delta CNK\) (c.g.c) suy ra \(\widehat {GAN} = \widehat {KCN}\) (hai góc tương ứng)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(AH\parallel KC\)
Kết hợp với \(AH \bot BC\) nên \(KC \bot BC\).
c) Chứng minh \(GM < \frac{1}{4}\left( {BC + AG} \right)\)
Chứng minh \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên \(GC = 2GM\) và \(GH = \frac{1}{2}GA\).
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào \(\Delta GHC\) ta có: \(GC < GH + HC\)
Biến đổi để xuất hiện \(GM < \frac{1}{4}\left( {BC + AG} \right)\).
a) Chứng minh \(\Delta ABH = \Delta ACH\)
Vì \(AH\) là đường cao của \(\Delta ABC\) (gt) nên \(AH \bot BC\)
Suy ra \(\Delta AHB\) vuông tại \(H\) và \(\Delta AHC\) vuông tại \(H\)
Xét \(\Delta AHB\) vuông và \(\Delta AHC\) vuông có:
\(AB = AC\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\))
\(AH\) là cạnh chung
Do đó \(\Delta AHB = \Delta AHC\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
b) Chứng minh \(CK \bot BC\)
Xét \(\Delta ABC\) có hai đường trung tuyến \(AH\) và \(BN\) cắt nhau tại \(G\) nên \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\)
Suy ra \(GN = \frac{1}{2}GB\) mà \(GB = GK\) nên \(GN = \frac{1}{2}GK\)
Do đó \(N\) là trung điểm của \(GK\)
Xét \(\Delta ANG\) và \(\Delta CNK\) có:
\(AN = NC\) (do \(N\) là trung điểm của \(AC\))
\(\widehat {ANG} = \widehat {CNK}\) (hai góc đối đỉnh)
\(NG = NK\) (do \(N\) là trung điểm của \(GK\))
Do đó \(\Delta ANG = \Delta CNK\) (c.g.c)
Suy ra \(\widehat {GAN} = \widehat {KCN}\) (hai góc tương ứng)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(AH\parallel KC\)
Lại có \(AH \bot BC\) nên \(KC \bot BC\).
c) Chứng minh \(GM < \frac{1}{4}\left( {BC + AG} \right)\)
Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\), mà \(CM\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) nên \(G \in CM\).
Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên \(GC = 2GM\) và \(GH = \frac{1}{2}GA\).
Xét \(\Delta GHC\) có: \(GC < GH + HC\)
suy ra \(2GM < \frac{1}{2}GA + \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}\left( {BC + AG} \right)\)
Do đó \(GM < \frac{1}{4}\left( {BC + AG} \right)\).
Danh sách bình luận