Đề bài

Bạn Nam tham gia cuộc thi giải một mật thư. Theo quy tắc của cuộc thi, người chơi cần chọn ra sáu số từ tập $S = \left\{ 31;32;33;34;35;36;37;38;39 \right\}$ và xếp mỗi số vào đúng một vị trí trong sáu vị trí A, B, C, M, N, P như hình bên sao cho mỗi vị trí chỉ được xếp một số. Mật thư sẽ được giải nếu các bộ ba số xuất hiện ở những bộ ba vị trí $(A,M,B)$; $(B,N,C)$; $(C,P,A)$ tạo thành các cấp số cộng theo thứ tự đó. Bạn Nam chọn ngẫu nhiên sáu số trong tập $S$ và xếp ngẫu nhiên vào các vị trí được yêu cầu. Gọi xác suất để bạn Nam giải được mật thư ở lần chọn và xếp đó là $\dfrac{a}{b}$. Giá trị của $\dfrac{b}{a}$ bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải

Chia trường hợp, sử dụng phương pháp tổ hợp.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

 

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega) = A_{9}^{6} = 60480$.

Mật khẩu mở được khi $\left\{ \begin{array}{l} {A + B = 2M} \\ {B + C = 2N} \\ {C + A = 2P} \end{array} \right.$, suy ra A, B, C có cùng tính chẵn lẻ.

TH1: $A,B,C \in \left\{ 32;34;36;38 \right\}$.

- Chọn {A; B; C} đảm bảo không phải là 3 số chẵn liên tiếp, có 2 cách là $\left\{ 32;34;38 \right\},\left\{ 32;36;38 \right\}$.

- Xếp A, B, C có 3! = 6 cách.

- Xếp M, N, P có 1 cách.

Suy ra TH1 có 2.6 = 12 cách.

TH2: $A,B,C \in \left\{ 31;33;35;37;39 \right\}$.

- Chọn {A; B; C} đảm bảo không phải là 3 số lẻ cách đều nhau, có $C_{5}^{3} - 4 = 6$ cách (các cách loại là $\left\{ 31;33;35 \right\},\left\{ 33;35;37 \right\},\left\{ 35;37;39 \right\},\left\{ 31;35;39 \right\}$).

- Xếp A, B, C có 3! = 6 cách.

- Xếp M, N, P có 1 cách.

Suy ra TH2 có 6.6 = 36 cách.

Xác suất để mật khẩu mở được là: $\left. a = \dfrac{12 + 36}{60480}\Rightarrow\dfrac{3}{a} = 3780 \right.$.