Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với $\widehat{ABC} = 60^{o}$ và AB = 4. Biết rằng hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm H của tam giác ABC và $SH = 2\sqrt{3}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD bằng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Phương pháp giải

Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Ta có $AC\bot SH$ và $\left. BD\Rightarrow AC\bot(SBD) \right.$.

Kẻ OE, HF vuông góc với SD tại E và F. Ta có OE là đoạn vuông góc chung của AC và SD.

Suy ra $d(AC,SD) = OE$.

Ta có: \(\frac{{OD}}{{HD}} = \frac{{OD}}{{OD + HO}} \)

\(= \frac{{OB}}{{OB + \frac{1}{3}OB}} = \frac{{OB}}{{\frac{4}{3}OB}} = \frac{3}{4}\).

Suy ra $HD = \dfrac{4}{3}OD = \dfrac{4}{3} \cdot 4 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{8}{\sqrt{3}}$.

$ \dfrac{1}{HF^{2}} = \dfrac{1}{HS^{2}} + \dfrac{1}{HD^{2}} = \dfrac{1}{12} + \dfrac{3}{64} = \dfrac{25}{192}$.

$\Rightarrow HF = \dfrac{\sqrt{192}}{5}$.

Lại có $\dfrac{OE}{HF} = \dfrac{OD}{HD} = \dfrac{3}{4}$.

$\Rightarrow OE = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{\sqrt{192}}{5} \approx 2,08 $.