Đề bài

Để đặt được một vật trang trí trên mặt bàn, người ta thiết kế một chân để như sau. Lấy một khối gỗ có dạng khối chóp cụt tứ giác đều với độ dài hai cạnh đáy lần lượt bằng 7,4 cm và 10,4 cm, bề dày của khối gỗ bằng 1,5 cm. Sau đó khoét bỏ đi một phần của khối gỗ sao cho phần đó có dạng vật thể $(\mathcal{N})$, ở đó $(\mathcal{H})$ nhận được bằng cách cắt khối cầu bán kính 5,6 cm bởi một mặt phẳng cắt mà mặt cắt là hình tròn bán kính 3,5 cm (xem hình dưới).

Thể tích của khối chân để bằng bao nhiêu centimet khối (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười)?

Phương pháp giải

Tính thể tích khối chóp cụt $V_{1}$ bằng cách áp dụng công thức $V = \dfrac{1}{3}h\left( {S + \sqrt{S.S'} + S'} \right)$.

Tính thể tích chỏm cầu $V_{2}$ bằng cách áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay $V = \pi{\int\limits_{a}^{b}{f^{2}(x)dx}}$.

Thể tích chân đế là $V = V_{1} - V_{2}$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Thể tích khối chóp cụt: $V_{1} = \dfrac{1}{3} \cdot 1,5 \cdot \left( {10,4^{2} + 7,4^{2} + 10,4 \cdot 7,4} \right)$.

Chỏm cầu sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đường tròn $x^{2} + y^{2} = 5,6^{2}$; Ox; $x = x_{I}$, $x = 5,6$.

$\left. OI = \sqrt{5,6^{2} - 3,5^{2}} = \dfrac{7\sqrt{39}}{10}\Rightarrow x_{I} = \dfrac{7\sqrt{39}}{10} \right.$.

Thể tích phần chỏm cầu: $\left. V_{2} = \pi{\int_{0}^{5,6}{\left( {5,6^{2} - x^{2}} \right)dx}}\Rightarrow x_{I} = \dfrac{7\sqrt{39}}{10} \right.$.

Thể tích chân đế: $V = V_{1} - V_{2} = 95,3$.