Đề bài

Một doanh nghiệp dự định sản xuất 200 máy tính bảng dành cho học sinh. Nếu doanh nghiệp đó bán x máy tính bảng \(\left( {1 \le x \le 200,x \in \mathbb{N}} \right)\) thì giá bán cho mỗi máy tính bảng là \(p(x) = 4000 - 10x\) (nghìn đồng), trong đó chi phí để sản xuất mỗi máy tính bảng là \(c(x) = {x^2} - 70x + 400 + \frac{{1000}}{x}\) (nghìn đồng). Hỏi doanh nghiệp đó sẽ bán bao nhiêu máy tính bảng để lợi nhuận cao nhất?

Phương pháp giải

Lập hàm số biểu diễn lợi nhuận của doanh nghiệp theo x.

Tìm x sao cho hàm số đạt GTLN bằng cách sử dụng đạo hàm.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Lợi nhuận = Doanh thu – Chi phí.

Lợi nhuận khi bán x chiếc máy tính bảng là:

\(L(x) = x.p(x) - x.c(x)\)

\( = x.\left( {4000 - 10x} \right) - x.\left( {{x^2} - 70x + 400 + \frac{{1000}}{x}} \right)\)

\( = 4000x - 10{x^2} - {x^3} + 70{x^2} - 400x - 1000\)

\( =  - {x^3} + 60{x^2} + 3600x - 1000\).

Ta có \(L'(x) =  - 3{x^2} + 120x + 3600 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 60\\x =  - 20\end{array} \right.\)

Xét trên đoạn [1;200], ta có:

L(1) = 2659; L(60) = 215000; L(200) = -4881000.

Vậy lợi nhuận lớn nhất khi doanh nghiệp bán 60 máy tính.

Mở rộng

Tìm GTLN, GTNN của hàm số

Bước 1: Tìm tập xác định (trong trường hợp xét trên đoạn [a;b], tập xác định đang xét chính là đoạn đó).

Bước 2: Tính đạo hàm f’(x). Tìm các giá trị $x_1, x_2, ..., x_n$ thuộc đoạn [a;b] mà tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại. (Các điểm này còn được gọi là điểm cực trị hoặc điểm dừng nếu đạo hàm bằng 0, hoặc điểm kì dị nếu đạo hàm không tồn tại).

Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm vừa tìm được ở Bước 2 và tại hai đầu mút của đoạn [a;b]. Tức là tính các giá trị $f(a), f(x_1), f(x_2), ..., f(x_n), f(b)$.

Giá trị lớn nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTLN của hàm số trên đoạn [a;b].

Giá trị nhỏ nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTNN của hàm số trên đoạn [a;b].