Một doanh nghiệp kinh doanh sản xuất đồng hồ có đồ thị hàm tổng chi phí theo số sản phẩm, là một phần của đồ thị của hàm số \(f(x) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + e}}\) như hình vẽ (mỗi đơn vị trên trục hoành tương ứng với 100 sản phẩm, mỗi đơn vị trên trục tung tương ứng với 1000 USD). Biết rằng tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm \(A\left( { - 1;\frac{2}{3}} \right)\) và đường tiệm cận xiên của đồ thị đó đi qua điểm B(3;2). Theo khảo sát, tổng doanh thu của doanh nghiệp này được mô tả bằng hàm số \(R(x) = {x^2} + 2x\) và lợi nhuận thu về khi bán 200 sản phẩm là 5250 USD. Khi chi phí theo số sản phẩm đạt giá trị nhỏ nhất, số sản phẩm sản xuất được là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Tìm các hệ số a, b, c, e bằng cách áp dụng kiến thức về đường tiệm cận đứng, tiệm cận xiên.
Tìm x sao cho hàm số f(x) đạt GTNN.
Đồ thị có tâm đối xứng là \(A\left( { - 1;\frac{2}{3}} \right)\) nên tiệm cận đứng của đồ thị là x = -1.
Do đó e = 1.
Ta có \(f(x) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + 1}} = ax - a + b + \frac{{c + a - b}}{{x + 1}}\).
Suy ra y = ax – a + b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số f(x).
Đường thẳng y = ax – a + b đi qua điểm \(A\left( { - 1;\frac{2}{3}} \right)\) và B(3;2) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{3} = a( - 1) - a + b\\2 = 3a - a + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\b = \frac{4}{3}\end{array} \right.\)
Vậy \(f(x) = \frac{{\frac{1}{3}{x^2} + \frac{4}{3}x + c}}{{x + 1}}\).
Lợi nhuận là:
\(R(x) - f(x) = {x^2} + 2x - \frac{{\frac{1}{3}{x^2} + \frac{4}{3}x + c}}{{x + 1}}\).
Vì lợi nhuận thu về khi bán 200 sản phẩm là 5250 USD nên ta có:
\(R(2) - f(2) = 5,25\)
\({2^2} + 2.2 - \frac{{\frac{1}{3}{{.2}^2} + \frac{4}{3}.2 + c}}{{2 + 1}} = 5,25 \Leftrightarrow c = \frac{{17}}{4}\).
Vậy \(f(x) = \frac{{\frac{1}{3}{x^2} + \frac{4}{3}x + \frac{{17}}{4}}}{{x + 1}}\).
Ta có \(f'(x) = \frac{{\frac{1}{3}{x^2} + \frac{2}{3}x - \frac{{35}}{{12}}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {39} }}{2}\).
Vì x > 0 nên \(x = \frac{{ - 2 + \sqrt {39} }}{2}\) thỏa mãn.
Lập bảng biến thiên, thấy hàm chi phí f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \frac{{ - 2 + \sqrt {39} }}{2}\).
Do đó, số sản phẩm sản xuất được là \(\frac{{ - 2 + \sqrt {39} }}{2}.100 \approx 212\) (sản phẩm).
Tìm GTLN, GTNN của hàm số
Bước 1: Tìm tập xác định (trong trường hợp xét trên đoạn [a;b], tập xác định đang xét chính là đoạn đó).
Bước 2: Tính đạo hàm f’(x). Tìm các giá trị $x_1, x_2, ..., x_n$ thuộc đoạn [a;b] mà tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại. (Các điểm này còn được gọi là điểm cực trị hoặc điểm dừng nếu đạo hàm bằng 0, hoặc điểm kì dị nếu đạo hàm không tồn tại).
Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm vừa tìm được ở Bước 2 và tại hai đầu mút của đoạn [a;b]. Tức là tính các giá trị $f(a), f(x_1), f(x_2), ..., f(x_n), f(b)$.
Giá trị lớn nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTLN của hàm số trên đoạn [a;b].
Giá trị nhỏ nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTNN của hàm số trên đoạn [a;b].
Danh sách bình luận