Đề bài

Một công nhân đi làm ở thành phố khi trở về nhà chỉ có 2 cách: hoặc đi theo đường ngầm hoặc đi qua cầu. Nếu đi lối đường ngầm 75% trường hợp ông ta về đến nhà trước 6 giờ tối; còn nếu đi lối cầu chi có 70% trường hợp (nhưng đi lối cầu thích hơn). Vợ ông ta nhận thấy rằng: Bình quân cứ 100 lần về nhà thì 71 lần ông ta về nhà trước 6 giờ tối. Tìm xác suất để công nhân đó đã đi lối cầu biết rằng ông ta về đến nhà sau 6 giờ tối (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải

Áp dụng công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Gọi các biến cố:

A: “Công nhân đi lối ngầm”.

Suy ra \(\overline A \): “Công nhân đi lối cầu”.

B: “Công nhân về nhà trước 6 giờ tối”.

Suy ra \(\overline B \): Công nhân về nhà sau 6 giờ tối”.

Ta có \(P\left( {B|A} \right) = 0,75\), \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,7\), \(P\left( B \right) = 0,71\).

Cần tính \(P\left( {\overline A |\overline B } \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline B |\overline A } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}}\).

Ta có \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\)

\( \Leftrightarrow 0,71 = \left[ {1 - P\left( {\overline A } \right)} \right].0,75 + P\left( {\overline A } \right).0,7\)

\( \Leftrightarrow P\left( {\overline A } \right) = 0,8\).

\(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,71 = 0,29\).

\(P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - P\left( {B|\overline A } \right) = 1 - 0,7 = 0,3\).

Vậy \(P\left( {\overline A |\overline B } \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline B |\overline A } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{0,8.0,3}}{{0,29}} \approx 0,83\).

Mở rộng

1. Xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện là xác suất của một sự kiện xảy ra khi biết rằng một sự kiện khác đã xảy ra. Xác suất có điều kiện được biểu thị dưới dạng P(X|Y), có nghĩa là xác suất của sự kiện X xảy ra, biết rằng sự kiện Y đã xảy ra.

2. Công thức xác suất toàn phần

Công thức này được sử dụng để tính xác suất của một biến cố B khi không biết trực tiếp, nhưng biết xác suất của B xảy ra dưới các điều kiện của một hệ đầy đủ các biến cố xung khắc $(A_1, A_2, ..., A_n)$. Hệ biến cố $A_1, A_2, ..., A_n$ được gọi là đầy đủ nếu hợp của chúng là không gian mẫu và chúng đôi một xung khắc. Công thức có dạng:

$P(B) = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + ... + P(B|A_n)P(A_n)$.

3. Công thức Bayes

Công thức Bayes cho phép tính xác suất có điều kiện của một biến cố (A) khi biết một biến cố khác (B) đã xảy ra. Nó liên hệ xác suất có điều kiện P(A|B) với xác suất có điều kiện ngược lại P(B|A) và xác suất riêng của các biến cố P(A) và P(B). Công thức có dạng:

$P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}$.