Đề bài

Giám đốc một nhà hát A đang phân vân trong việc xác định mức giá vé xem các chương trình được trình chiếu trong nhà hát. Việc này rất quan trọng, nó sẽ quyết định nhà hát thu được bao nhiêu lợi nhuận từ các buổi trình chiếu. Theo những cuốn sổ ghi chép của mình, ông ta xác định rằng: nếu giá vé vào của là 20 USD/người thì trung bình có 1000 người tới xem. Nhưng nếu tăng thêm 1 USD/người thì sẽ mất 100 khách hàng hoặc giảm đi 1 USD/người sẽ có thêm 100 người khách trong số trung bình. Biết rằng, trung bình, mỗi khách hàng đem lại 2 USD/người lợi nhuận cho nhà hát trong các dich vụ đi kèm. Hãy giúp giám đốc nhà hát này xác định xem cần tính giá vé vào cửa là bao nhiêu để thu nhập là lớn nhất.

• A. 21 USD/người
• B. 18 USD/người
• C. 14 USD/người
• D. 16 USD/người

Phương pháp giải

Gọi x là số lần tăng/giảm giá vé (chia hai trường hợp).

Lập hàm số biểu diễn lợi nhuận.

Tìm x để hàm số đạt GTLN bằng ứng dụng đạo hàm.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

TH1: Tăng giá vé

Gọi số lần tăng giá thêm 1 USD là x (lần; \(x \in \mathbb{N}\)).

Giá vé khi đó là 20 + x (USD).

Số khách trung bình vào xem là 1000 – 100x (người).

Thu nhập mỗi khách (gồm tiền vé và dịch vụ đi kèm) là 20 + x + 2 = 22 + x (USD).

Thu nhập của nhà hát là:

\(P(x) = (22 + x)(1000 - 100x) =  - 100{x^2} - 1200x + 22000\).

Điều kiện: \(0 \le x \le 10\).

Ta có \(P'(x) =  - 200x - 1200 = 0 \Leftrightarrow x =  - 6\).

Với \(0 \le x \le 10\) thì P(x) đạt GTLN khi x = 0.

Lợi nhuận lớn nhất là \(P(0) = 22000\) USD.

TH2: Giảm giá vé

Gọi số lần giảm giá thêm 1 USD là x (lần; \(x \in \mathbb{N}\)).

Giá vé khi đó là 20 – x (USD).

Số khách trung bình vào xem là 1000 + 100x (người).

Thu nhập mỗi khách (gồm tiền vé và dịch vụ đi kèm) là 20 – x + 2 = 22 – x (USD).

Thu nhập của nhà hát là:

\(P(x) = (22 - x)(1000 + 100x) =  - 100{x^2} + 1200x + 22000\).

Điều kiện: \(0 \le x \le 22\).

Ta có \(P'(x) =  - 200x + 1200 = 0 \Leftrightarrow x = 6\).

Với \(0 \le x \le 22\) thì ta có \(P(0) = 22000\), \(P(6) = 25600\), \(P(22) = 0\).

Lợi nhuận lớn nhất là \(P(6) = 25600\) USD.

Vậy giá vé vào cửa là 20 – 6 = 14 USD thì lợi nhuận là lớn nhất.

Đáp án : C

Mở rộng

Tìm GTLN, GTNN của hàm số

Bước 1: Tìm tập xác định (trong trường hợp xét trên đoạn [a;b], tập xác định đang xét chính là đoạn đó).

Bước 2: Tính đạo hàm f’(x). Tìm các giá trị $x_1, x_2, ..., x_n$ thuộc đoạn [a;b] mà tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại. (Các điểm này còn được gọi là điểm cực trị hoặc điểm dừng nếu đạo hàm bằng 0, hoặc điểm kì dị nếu đạo hàm không tồn tại).

Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm vừa tìm được ở Bước 2 và tại hai đầu mút của đoạn [a;b]. Tức là tính các giá trị $f(a), f(x_1), f(x_2), ..., f(x_n), f(b)$.

Giá trị lớn nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTLN của hàm số trên đoạn [a;b].

Giá trị nhỏ nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTNN của hàm số trên đoạn [a;b].