Để sửa một ngôi nhà cần một số thợ làm việc trong một thời gian quy định. Nếu giảm ba người thì thời gian kéo dài sáu ngày. Nếu tăng thêm hai người thì xong sớm hai ngày. Hỏi theo quy định cần bao nhiêu thợ và làm trong bao nhiêu ngày, biết rằng khả năng lao động của mọi thợ đều như nhau?
Sử dụng:
- Cách giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn :
Bước \(1\): Lập hệ phương trình
+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết
+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước \(2\): Giải hệ phương trình nói trên.
Bước \(3\): Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
Gọi số thợ cần thiết để làm xong việc là \(x\) (người), thời gian cần thiết để làm xong việc là \(y\) (ngày)
Điều kiện: \(x \in {\mathbb{N}^*},y > 0\)
Số ngày công để hoàn thành công việc là \(xy\) (ngày)
Nếu giảm \(3\) người thì thời gian tăng thêm \(6\) ngày, ta có phương trình:
\(\left( {x - 3} \right)\left( {y + 6} \right) = xy\)
Nếu tăng \(2\) người thì thời gian làm giảm \(2\) ngày, ta có phương trình:
\(\left( {x + 2} \right)\left( {y - 2} \right) = xy\)
Ta có hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}(x - 3)(y + 6) = xy \\(x + 2)(y - 2) = xy \end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l} xy + 6x - 3y - 18 = xy \\ xy - 2x + 2y - 4 = xy \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} 6x - 3y = 18 \\ -2x + 2y = 4 \end{array} \right. \\\left\{ \begin{array}{l} 2x - y = 6 \\ - x + y = 2 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x = 8 \\ y = 10 \end{array} \right. \end{array} \)
Ta thấy \(x = 8; y = 10\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy theo quy định cần có \(8\) người thợ và làm trong \(10\) ngày.
Loigiaihay.com
Bài toán "Để sửa một ngôi nhà cần một số thợ làm việc trong một thời" là một dạng bài toán giải bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
Để giải các bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Lập hệ phương trình
Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng (ví dụ: số người, thời gian, vận tốc, khối lượng, v.v., và các điều kiện về số nguyên, số dương, v.v.).
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn đã chọn và các đại lượng đã biết từ đề bài.
Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng, dựa trên các thông tin đã cho trong đề bài.
Bước 2: Giải hệ phương trình
Sử dụng các phương pháp đã học để giải hệ phương trình (ví dụ: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số) để tìm giá trị của các ẩn.
Bước 3: Kiểm tra và kết luận
Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán (thỏa mãn các điều kiện đã đặt ra cho ẩn, có ý nghĩa thực tế).
Kết luận về các đại lượng cần tìm của bài toán.
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\4x + y = 9\end{array} \right.\). Nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $x - y$
-
A.
$x - y = - 1$
-
B.
$x - y = 1$
-
C.
$x - y = 0$
-
D.
$x - y = 2$
Bài 2 :
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{x} + y = 3\\\dfrac{1}{x} - 2y = 4\end{array} \right.$. Biết nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $\dfrac{x}{y}$
-
A.
$2$
-
B.
$ - 2$
-
C.
$ - \dfrac{1}{2}$
-
D.
$\dfrac{1}{2}$
Bài 3 :
Số nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5(x + 2y) - 3(x - y) = 99\\x - 3y = 7x - 4y - 17\end{array} \right.\)là
-
A.
$2$
-
B.
Vô số
-
C.
$1$
-
D.
$0$
Bài 4 :
Kết luận nào đúng khi nói về nghiệm $\left( {x;y} \right)$ của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{y}{2} = \dfrac{{2x - 3}}{2}\\\dfrac{x}{2} + 3y = \dfrac{{25 - 9y}}{8}\end{array} \right.\)
-
A.
$x > 0;y < 0$
-
B.
$x < 0;y < 0$
-
C.
$x < 0;y > 0$
-
D.
$x > 0;y > 0$
Bài 5 :
Tìm $a,b$ để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2ax + by = - 1\\bx - ay = 5\end{array} \right.$
có nghiệm là $\left( {3; - 4} \right)$.
-
A.
$a = \dfrac{1}{2};b = 1$
-
B.
$a = - \dfrac{1}{2};b = 1$
-
C.
$a = \dfrac{1}{2};b = - 1$
-
D.
$a = - \dfrac{1}{2};b = - 1$
Bài 6 :
Nghiệm $\left( {x;y} \right)$ của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{7}{{\sqrt x - 7}} - \dfrac{4}{{\sqrt y + 6}} = \dfrac{5}{3}\\\dfrac{5}{{\sqrt x - 7}} + \dfrac{3}{{\sqrt y + 6}} = 2\dfrac{1}{6}\end{array} \right.\) có tính chất là:
-
A.
$x;y$ nguyên dương
-
B.
$x;y$ là số vô tỉ
-
C.
$x;y$ nguyên âm
-
D.
$x$ nguyên dương, $y$ không âm
Bài 7 :
Tìm \(a,b\) biết đường thẳng \(d:y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A\left( { - 4; - 2} \right);B\left( {2;1} \right)\).
-
A.
\(a = 0;b = \dfrac{1}{2}\)
-
B.
\(a = \dfrac{1}{2};b = 0\)
-
C.
\(a = 1;b = 1\)
-
D.
\(a = - \dfrac{1}{2};b = \dfrac{1}{2}\)
Bài 8 :
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = - 2\\3x - 2y = - 3\end{array} \right.\). Nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $x + y$
-
A.
$x + y = - 1$
-
B.
$x + y = 1$
-
C.
$x + y = 0$
-
D.
$x + y = 2$
Bài 9 :
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{1}{y} = 2\\2x - \dfrac{3}{y} = 1\end{array} \right.$. Biết nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $\dfrac{{5x}}{y}$
-
A.
$\dfrac{{35}}{3}$
-
B.
$\dfrac{{21}}{5}$
-
C.
$\dfrac{7}{3}$
-
D.
$\dfrac{{21}}{{25}}$
Bài 10 :
Số nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2(x + y) - 3(x - y) = 4\\x + 4y = 2x - y + 5\end{array} \right.\) là
-
A.
$2$
-
B.
Vô số
-
C.
$1$
-
D.
$0$
Bài 11 :
Kết luận nào đúng khi nói về nghiệm $\left( {x;y} \right)$ của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x + y}}{5} = \dfrac{{x - y}}{3}\\\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{2} + 1\end{array} \right..\)
-
A.
$x > 0;y < 0$
-
B.
$x < 0;y < 0$
-
C.
$x < 0;y > 0$
-
D.
$x > 0;y > 0$
Bài 12 :
Tìm $a,b$ để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}4ax + 2by = - 3\\3bx + ay = 8\end{array} \right.$ có nghiệm là $\left( {2; - 3} \right)$.
-
A.
$a = 1;b = 11$
-
B.
$a = - 1;b = \dfrac{{11}}{6}$
-
C.
$a = 1;b = - \dfrac{{11}}{6}$
-
D.
$a = 1;b = \dfrac{{11}}{6}$
Bài 13 :
Nghiệm $\left( {x;y} \right)$của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{1}{{y + 1}} = 2\\\dfrac{2}{{x - 2}} - \dfrac{3}{{y - 1}} = 1\end{array} \right.\) có tính chất là:
-
A.
$x;y$ là số nguyên
-
B.
$x;y$ là số vô tỉ
-
C.
$x;y$ là các phân số tối giản có tổng các tử số là \(27\)
-
D.
$x$ nguyên dương, $y$ không âm
Bài 14 :
Tìm \(a,b\) biết đường thẳng \(d:y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A\left( {\sqrt 3 ;2} \right);B\left( {0;2} \right)\).
-
A.
\(a = 0;b = 2\)
-
B.
\(a = \dfrac{1}{2};b = 0\)
-
C.
\(a = 1;b = 1\)
-
D.
\(a = - \dfrac{1}{2};b = \dfrac{1}{2}\)
Bài 15 :
Gọi \(\left( {{x_0};y{ _0}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = - 7\\x + 2y = - 4\end{array} \right.\). Tính \(S = {x_0} + {y_0}.\)
-
A.
\(S = - 5.\)
-
B.
\(S = - 1.\)
-
C.
\(S = 1.\)
-
D.
\(S = 5.\)
Bài 16 :
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{align} & (a-2)x+5by=25 \\ & 2ax-(b-2)y=5 \\\end{align} \right.\). Tìm giá trị của a và b để hệ có nghiệm (x;y)=(3;-1).
-
A.
\(a=2,\,b=-5\)
-
B.
\(a=-1,\,b=-4\)
-
C.
\(a=3,\,b=4\)
-
D.
\(a=-3,\,b=5\)
Bài 17 :
Bằng phương pháp cộng đại số, giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - 0.5x + 0.5y = 1\\ - 2x + 2y = 8.\end{array} \right.\)
Bài 18 :
Cho hệ phương trình \(\left( {II} \right)\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 3\\x - 2y = 6\end{array} \right..\) Ta thấy hệ số của y trong hai phương trình là hai số đối của nhau (tổng của chúng bằng 0) . Từ đặc điểm đó, hãy giải hệ phương trình đã cho theo hướng dẫn sau:
1. Cộng từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình một ẩn x. Giải phương trình này để tìm x.
2. Sử dụng giá trị x tìm được, thay vào một trong hai phương trình của hệ để tìm giá trị của y rồi viết nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Bài 19 :
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
a) \(\left\{ \begin{array}{l} - 4x + 3y = 0\\4x - 5y = - 8;\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 3y = 0\\x + 3y = 9.\end{array} \right.\)
Bài 20 :
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 3y = 6\\ - 5x + 2y = 4\end{array} \right.\) bằng phương pháp cộng đại số.
Bài 21 :
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số;
a) \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 6\\2x - 2y = 14;\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}0,3x + 0,5y = 3\\1,5x - 2y = 1,5;\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 6y = 8\\3x - 9y = - 12.\end{array} \right.\)
Bài 22 :
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = - 3\\ - 2{m^2}x + 9y = 3\left( {m + 3} \right)\end{array} \right.,\) trong đó m là số đã cho. Giải hệ phương trình trong mỗi trường hợp sau:
a) \(m = - 2;\)
b) \(m = - 3;\)
c) \(m = 3.\)
Bài 23 :
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}5x + 7y = - 1\\3x + 2y = - 5;\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 11\\ - 0,8x + 1,2y = 1;\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}4x - 3y = 6\\0,4x + 0,2y = 0,8.\end{array} \right.\)
Bài 24 :
Tìm a và b sao cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = 1\\ax + \left( {2 - b} \right)y = 3\end{array} \right.\) có nghiệm là \(\left( {1; - 2} \right).\)
Bài 25 :
Kí hiệu \(\left( {{d_1}} \right)\) là đường thẳng \(x + 2y = 4,\left( {{d_2}} \right)\) là đường thẳng \(x - y = 1\).
a) Vẽ \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 4\\x - y = 1\end{array} \right.\) để tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\).
Bài 26 :
Cho hai hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = 6}\\{x + y = 5}\end{array}} \right.\) (I) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y = 1}\\{x + y = 5}\end{array}} \right.\)(II)
a) Giải hệ phương trình (I) và hệ phương trình (II) bằng phương pháp thế. Có nhận xét gì về nghiệm của hai hệ này?
b) Bằng cách cộng từng vế của hai phương trình của hệ (II), ta nhận được một phương trình mới. Thay phương trình thứ nhất của hệ (II) bằng phương trình mới đó. Có nhận xét gì về kết quả nhận được?
Bài 27 :
Giải các hệ phương trình:
a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 5y = - 14}\\{2x + 3y = 2}\end{array}} \right.\)
b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + 5y = 15}\\{6x - 4y = 11}\end{array}} \right.\)
Bài 28 :
Xác định a, b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(2;-2) và B(-1;3).
Bài 29 :
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 7\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x - y = 1\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\left( {II} \right)\)
a. Các hệ số của \(y\) trong hai phương trình (1) và (2) có đặc điểm gì?
b. Cộng từng vế hai phương trình của hệ (II), ta nhận được phương trình nào?
c. Giải phương trình nhận được ở câu b. Từ đó, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình (II).
Bài 30 :
Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 5\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\5x + 2y = 7\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
