Chào đón năm mới 2025, Thành phố trang trí đèn led cho biểu tượng hình chữ V được ghép từ các thanh AB = 4 m, AC = 5 m sao cho tam giác ABC vuông tại B. Để tăng hiệu ứng, các kỹ sư đã thiết kế một chuỗi led chạy từ B xuống A với vận tốc 4 m/phút và một chuỗi led chạy từ A lên C với vận tốc 10 m/phút. Sau khi đóng nguồn điện thì cả hai chuỗi LED đồng thời xuất phát. Hỏi sau bao nhiêu giây từ thời điểm đóng nguồn điện thì khoảng cách giữa hai điểm sáng đầu tiên của hai chuỗi LED là nhỏ nhất?
Áp dụng phương pháp tọa độ hóa.
Ta có: \( BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = 3 \) (m).
Đặt hình vào hệ trục tọa độ như hình vẽ với O trùng B, C(3;0), A(0;-4).
Lấy \( D \in AB, E \in AC \).
Thời gian đèn chạy hết quãng đường \( AB \) là: \(\frac{4}{4} = 1 \) (phút).
\(\Rightarrow OA = (0; -4).1 = (0; -4)\).
Phương trình OA là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 + 0t\\y = 0 + ( - 4)t\end{array} \right. \Rightarrow D(0; - 4t)\).
Thời gian đèn led đi hết quãng đường AC là: \(\frac{10}{5} = 2 \) (phút).
\(\Rightarrow AC = (3; 4).2 = (6; 8)\).
Phương trình AC là:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 + 6t\\y = - 4 + 8t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6t\\y = - 4 + 8t\end{array} \right. \Rightarrow D(6t;8t - 4)\).
\(\Rightarrow DE = \sqrt{(6t)^2 + (12t - 4)^2}\)
\(= \sqrt{180t^2 - 96t + 16}\)
\(= \sqrt{180\left(t - \frac{4}{15}\right)^2 + \frac{16}{5}} \geq \frac{4}{\sqrt{5}}\).
Dấu “=” có khi \( t = \frac{4}{15} \) phút = 16 giây.
Vậy sau 16 giây kể từ thời điểm đóng nguồn điện thì khoảng cách giữa hai điểm sáng đầu tiên của hai chuỗi led là nhỏ nhất.
Phương trình tham số của đường thẳng và biểu diễn điểm chuyển động
Một điểm chuyển động trên một đường thẳng có thể được biểu diễn bằng phương trình tham số. Nếu một điểm bắt đầu từ $P_0(x_0; y_0)$ và chuyển động với vận tốc $\vec{v}=(v_x, v_y)$, thì vị trí của điểm đó sau thời gian t là $P(t) = (x_0 + v_x t, y_0 + v_y t)$. Vận tốc vecto được xác định từ tốc độ và hướng di chuyển.
Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm
Khoảng cách giữa hai điểm $P_1(x_1; y_1)$ và $P_2(x_2; y_2)$ trong mặt phẳng tọa độ được tính bằng công thức: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc hai
Một hàm số bậc hai có dạng $f(x) = ax^2 + bx + c$ với (a > 0) sẽ có giá trị nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất này đạt được tại đỉnh của parabol, với hoành độ $x=-\frac{b}{2a}$. Phương pháp khác để tìm giá trị nhỏ nhất là biến đổi hàm số về dạng: $ax^2 + bx + c = a(x - h)^2 + k$, trong đó k là giá trị nhỏ nhất.
Danh sách bình luận