Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ BD là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) (D \( \in \) AC).Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho AB = BE.

a) Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta EBD\). Từ đó suy ra DA = DE.

b) So sánh DA và DC?

c) Đường thẳng ED cắt AB tại F. Gọi S là trung điểm của FC. Chứng minh ba: điểm B, D, S thẳng hàng.

 

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta ABD\) = \(\Delta EBD\) (c.g.c)

suy ra AD = ED (2 cạnh tương ứng)

b) Chứng minh BC \( \bot \) DE nên \(\Delta DEC\) vuông tại E

Suy ra cạnh huyền DC > DE nên DC > DA

c) Chứng minh B nằm trên đường trung trực của CF (1)

Chứng minh D nằm trên đường trung trực của CF (2)

Chứng minh S nằm trên đường trung trực của CF (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra ba điểm B, D, S thẳng hàng.

 

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Xét DABD và DEBD có

BD là cạnh chung

\(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\) (vì BD là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\))

AB = EB (gt)

nên \(\Delta ABD\) = \(\Delta EBD\) (c.g.c)

suy ra AD = ED (2 cạnh tương ứng)

b) Do \(\Delta ABD\) = \(\Delta EBD\) nên \(\widehat {BAD} = \widehat {BED} = 90^\circ \)

Suy ra BE \( \bot \) DE hay BC \( \bot \) DE

Do đó \(\Delta DEC\) vuông tại E

Xét \(\Delta DEC\) vuông tại E ta có: DC > DE (cạnh huyền là cạnh lớn nhất)

Mà DE = DA (theo chứng minh phần a)

suy ra DC > DA

c) Xét \(\Delta DAF\) và \(\Delta DEC\) có:

\(\widehat {DAF} = \widehat {DEC}\left( { = 90^\circ } \right)\)

AD = ED

\(\widehat {ADF} = \widehat {EDC}\) (hai góc đối đỉnh)

nên \(\Delta DAF = \Delta DEC\) (g.c.g)

suy ra AF = EC (hai cạnh tương ứng)

Do đó: AB + AF = EB + EC hay BF = BC

Suy ra B nằm trên đường trung trực của CF (1)

Do \(\Delta DAF = \Delta DEC\) (cmt) nên DF = DC (hai cạnh tương ứng)

Suy ra D nằm trên đường trung trực của CF (2)

Mặt khác: S là trung điểm của CF nên S nằm trên đường trung trực của CF (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra ba điểm B, D, S thẳng hàng.